MATHS
Nom : Prénom : Classe :
Leçons - 4e
1. Addition et soustraction de nombres relatifs 2. Nombres premiers
3. Multiplication et division de nombres relatifs 4. Translations et rotations
5. Addition et soustraction de fractions 6. Théorème de Pythagore
7. Multiplication et division de fractions 8. Réciproque du théorème de Pythagore 9. Les bases du calcul littéral
10. Reconnaître la proportionnalité
11. Développer et factoriser une expression 12. Applications de la proportionnalité 13. Equations
14. Puissances de 10 15. Statistiques 16. Théorème de Thalès 17. Probabilités 18. Volumes
19. Algorithmique et programmation
M. SEGALAT
Addition et soustraction de nombres relatifs
Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Addition
Propriété 1 : Pour additionner deux nombres relatifs, on regarde leurs signes.
• s’ils sont de même signe, on garde le signe et on ajoute les distances à zéro.
• s’ils sont de signes différents,
– le signe du résultat est celui du nombre ayant la plus grande distance à zéro,
– la distance à zéro du résultat est obtenue en calculant la plus grande distance à zéro moins la plus petite.
• (+2) + (+3) = +(2 + 3) = +5
• (−2) + (−3) = −(2 + 3) =−5
• (−2) + (+3) = +(3−2) = +1
• (+2) + (−3) =−(3−2) =−1
II — Soustraction
Définition 1 : L’opposé d’un nombre relatif est le nombre relatif ayant la même distance à zéro mais de signe différent.
Propriété 2 : La somme d’un nombre relatif et de son opposé est égale à zéro.
• 2et −2sont opposés
• 2 + (−2) = 0
Propriété 3 : Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
• 2−(+5) = 2 + (−5) =−(5−2) =−3
• 3−(−7) = 3 + (+7) = +(7 + 3) = +10 = 10
III — Suppression des parenthèses
Propriété 4 : Pour simplifier l’écriture des nombres relatifs, on peut supprimer les parenthèses.
On écrit alors
(+2) = 2 et(−3) =−3.
Propriété 5 : Quand on supprime des parenthèses précédées du signe +, on supprime ces parenthèses et le signe+puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses sans changer les signes.
Propriété 6 : Quand on supprime des parenthèses précédées du signe −, on supprime ces parenthèses et le signe − puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses en changeant tous les signes.
(+3) + (+2) = 3 + 2 = 5 (+3) + (−2) = 3−2 = 1 (+3)−(+2) = 3−2 = 1 (+3)−(−2) = 3 + 2 = 5
IV — Addition et soustraction de plus de deux nombres relatifs
Pour faciliter les calculs, on regroupe les nombres positifs et les nombres négatifs entre eux.
Si on a déjà supprimé les parenthèses, on regroupe les additions et les soustractions.
A= (+1)−(+2) + (+3)−(+4) + (+5)−(+6) + (+7) A= (+1) + (−2) + (+3) + (−4) + (+5) + (−6) + (+7)
= (+1) + (+3) + (+5) + (+7) + (−2) + (−4) + (−6)
= (+16) + (−12)
= (+4)
A= 1−2 + 3−4 + 5−6 + 7
= 1 + 3 + 5 + 7−2−4−6
= 16−12
= 4
Nombres premiers Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Multiples et diviseurs
Définition 2 : Si le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entierb est zéro, on dit que :
• a est divisible parb
• b est un diviseur de a
• a est un multiple de b.
Le reste de la division de 123 par 3 est 0. On dit donc que :
• 123 est divisible par 3,
• 3 est un diviseur de 123,
• 123 est un multiple de 3.
Propriété 7 :
• Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Un nombre entier est divisible par 4 si ces deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4.
• Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
• Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
• 148 est un multiple de 2et de 4 car il se termine par 8 et car48 = 4×12.
• 483 est un multiple de 3car 4 + 8 + 3 = 15et 15 = 3×5.
II — Nombres premiers
Définition 3 : Un nombre premier est un nombre qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 60
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 (crible d’Erathostène)
Les nombres premiers inférieurs à 100 sont donc :
• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17
• 19
• 23
• 29
• 31
• 37
• 31
• 37
• 41
• 47
• 53
• 59
• 61
• 67
• 71
• 73
• 79
• 89
• 97
III — Diviseur commun à deux nombres
Définition 4 : Un diviseur commun à deux nombres a etb est un nombre dqui divise à la fois le nombrea et le nombre b.
Par exemple,2 est un diviseur commun à 12et à 36.
Figure à découper et à coller
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 60
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Liste des nombres premiers inférieurs à 100 (crible d’Erathostène)
Multiplication et division de nombres relatifs Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Règle des signes
Définition 5 : La règle des signes pour la multiplication ou la division de deux nombres relatifs est la suivante :
+ × + → + − × + → − + × − → − − × − → +
+ ÷ + → + − ÷ + → − + ÷ − → − − ÷ − → +
Autrement dit, la règle des signes est la suivante :
• Quand on multiplie ou divise deux nombres de même signe, le résultat sera positif.
• Quand on multiplie ou divise deux nombres de signes différents, le résultat sera négatif.
II — Multiplication
Propriété 8 : Pour multiplier deux nombres relatifs,
• le signe du produit est obtenu en appliquant la règle des signes,
• la distance à zéro du résultat est le produit des distances à zéro.
2×3 = 6
−2×3 = −6 2×(−3) =−6
−2×(−3) = 6
Propriété 9 : Le signe de la multiplication de plusieurs nombres relatifs est obtenu en comptant le nombre de facteurs négatifs dans le produit :
• si ce nombre est pair, le signe sera positif ;
• si ce nombre est impair, le signe sera négatif.
La distance à zéro du résultat est le produit des distances à zéro des facteurs.
2×(−3)×(−4)×5 = 2×3×4×5 = 120
Le signe du résultat est+car il y a deux (nombre pair) de nombres négatifs dans le calcul.
2×(−3)×(−4)×(−5) = −(2×3×4×5) = −120
Le signe du résultat est − car il y a trois (nombre impair) de nombres négatifs dans le calcul.
III — Division
Propriété 10 : Pour diviser deux nombres relatifs,
• le signe du quotient est obtenu en appliquant la règle des signes
• la distance à zéro du résultat est le quotient des deux distances à zéro.
6÷3 = 2
−6÷3 = −2
6÷(−3) =−2
−6÷(−3) = 2
IV — Synthèse
Méthode 1 : Pour calculer une expression numérique, on calcule en priorité
1. les calculs entre accolades, puis ceux entre crochets puis ceux entre parenthèses, 2. puis les multiplications et les divisions (en appliquant la règle des signes), 3. puis les additions et les soustractions.
Si plusieurs calculs ont la même priorité, on les fait de gauche à droite.
Attention– Ne pas appliquer la règle des signes à l’addition ou à la soustraction.
Exercice 1 : Calculer A= (−2 + 3×4)−(6 + 14÷(−2)).
Correction
A= (−2 + 3×4)−(6 + 14÷(−2))
= (−2 + 12)−(6 + (−7))
= 10−(−1)
= 10 + 1
= 11.
Translations et rotations
Cycle 4 - 4
eEspace et géométrie Cours
I — Translation
Définition 6 : Transformer une figure par translation revient à la faire glisser sans la faire tourner.
Ce glissement est défini par
• une direction,
• un sens,
• une longueur.
Si une translation est
• le long d’une droite (AB),
• dans le sens de A vers B,
• de distanceAB,
on l’appelera translation qui transforme A en B ou translation de vecteur −→
AB.
Propriété 11 : Une translation conserve l’alignement, le parallélisme, les longueurs et les angles.
figure 1
A
B
figure 2
La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme A en B.
II — Rotation
Définition 7 : Transformer une figure par rotation revient à la faire tourner autour d’un point.
Une rotation est définie par
• un centre (le point autour duquel on tourne),
• un angle de rotation,
• un sens de rotation (horaire ou anti-horaire).
• Le senshoraire est le sens des aiguilles d’une montre.
• Le sensanti-horaire est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Propriété 12 : Une rotation conserve l’alignement, le parallélisme, les longueurs et les angles.
figure 3
A
figure 4
La figure 4 l’image de la figure 3 par la rotation de centre A, d’angle 90° dans le sens horaire.
III — Egalité de triangles
Définition 8 : Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur.
A
B
C
D
E
F
• AB=DE, • BC =EF, • CA=F D, donc les trianglesABC etDEF sont égaux.
Propriété 13 : Si deux triangles sont égaux alors leurs angles sont deux à deux de même mesure.
A
B
C
D
E
F
Les triangles ABC etDEF sont égaux donc :
• ABC’ =DEF’, • BCA’ =EF D,’ • CAB’ =F DE.’
IV — Frises, pavages et rosaces
Définition 9 : Une frise est constituée d’un motif qui est reproduit dans une seule direction par translation.
Motif
A B
La frise est obtenue par translation du motif par la translation qui transforme A en B.
Définition 10 : Un pavage est constitué d’un motif qui est reproduit dans deux directions par des translations et qui recouvre le plan sans trou, ni superposition.
Motif
A B
C
Le pavage est obtenu par les translations qui transforment A en B et A en C.
Définition 11 : Une rosace est constituée d’un motif qui est reproduit plusieurs fois par rotation.
Motif
A 45°
La rosace est obtenue par la rotation de centre A, d’angle 45° dans le sens anti-horaire.
Figures à découper et à coller
figure 1
A
B
figure 2
figure 3
A
figure 4
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
Motif
A B
Motif
A B
C
Motif
A 45°
Addition et soustraction de fractions
Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
Méthode 2 : Pour additionner ou soustraire deux fractions, on considère leur dénominateur :
• si les deux fractions ont le même dénominateur
– on ajoute ou soustrait les numérateurs et on garde le même dénominateur.
• sinon
– on transforme l’une des deux ou les deux fractions en des fractions équivalentes de manière à obtenir deux fractions ayant le même dénominateur et on se ramène au premier cas.
Dans tous les cas, on simplifie la fraction obtenue pour la rendre irréductible.
• Même dénominateur :
1 2+ 4
2 = 1 + 4 2 = 5
2
• Dénominateurs multiples l’un de l’autre : 1
2 +3
4 = 1×2 2×2 +3
4 = 2 4 +3
4 = 5 4
• Cas général :
2 3 +5
4 = 2×4
3×4 +5×3 4×3 = 8
12+15
12 = 8 + 15 12 = 23
12
• Cas particulier :
2− 2 3 = 2
1 −2
3 = 2×3 1×3 −2
3 = 6 3 − 2
3 = 6−2 3 = 4
3
Attention Les priorités de calcul et les règles de calcul sur les nombres relatifs s’appliquent au calcul fractionnaire.
• 1 2 +−4
2 = 1−4 2 =−3
2
• 1 2 − 3
−4 = 1 2+ 3
4 = 1×2 2×2 +3
4 = 2 4 +3
4 = 5 4
• −2 3 + 5
−4 = −2 3 − 5
4 = −2×4
3×4 +5×3 4×3 = −8
12 + 15
12 = −8 + 15 12 = 7
12
Théorème de Pythagore Cycle 4 - 4
eEspace et géométrie Cours
I — Carrés et racines carrées
Propriété 14 : Les carrés suivants sont à savoir par cœur :
• 12 = 1
• 22 = 4
• 32 = 9
• 42 = 16
• 52 = 25
• 62 = 36
• 72 = 49
• 82 = 64
• 92 = 81
• 102 = 100
• 112 = 121
• 122 = 144
• 132 = 169
Avec la calculatrice 1 : Pour calculer 232, il suffit de taper 23^2. On obtient 232 = 529.
Définition 12 : La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif noté √
a qui, au carré, est égal à a. On a donc √
a2
=a.
Propriété 15 : Les racines carrées suivantes sont à savoir par cœur :
• √ 1 = 1.
• √ 4 = 2.
• √ 9 = 3.
• √
16 = 4.
• √
25 = 5.
• √
36 = 6.
• √
49 = 7.
• √
64 = 8.
• √
81 = 9.
• √
100 = 10.
• √
121 = 11.
• √
144 = 12.
• √
169 = 13.
Avec la calculatrice 2 : Pour calculer √
75, il suffit de taper
• qd75 pour obtenir la valeur exacte :5√ 3,
• qd75npour obtenir sa valeur arrondie (ici au dixème) : 8,7.
II — Théorème de Pythagore
Définition 13 : Dans un triangle rectangle, le côté qui ne touche pas l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est aussi le côté le plus long du triangle.
Théorème 1 : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs de côtés de l’angle droit.
Exercice 2 : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB= 3 cm et AC= 4 cm.
Calculer la longueur BC.
Correction
A B
C
3
4
Dans le triangleABC rectangle enA, on ap- plique le théorème de Pythagore.
BC2 =AC2+AB2 BC2 = 42 + 32 BC2 = 16 + 9 = 25
BC =√
25 =5cm
Donc BC mesure 5 cm.
Exercice 3 : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB= 3 cm et BC = 5 cm.
Calculer la longueur AC.
Correction
A B
C
3
5
Dans le triangleABC rectangle enA, on ap- plique le théorème de Pythagore.
BC2 =AC2+AB2 52 =AC2+ 32 25 =AC2+ 9 AC2 = 25−9 = 16
AC =√
16 = 4 cm
Donc AC mesure 4 cm.
Multiplier et diviser des fractions Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Multiplication
Propriété 16 : Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Soient a, b, c etd des nombres entiers avec b et d non nuls :
a b × c
d = a×c b×d. 2
3 × 5
7 = 2×5 3×7 = 10
21 2
3 ×5 = 2 3× 5
1 = 2×5 3 = 10
3 Attention Il faut toujours simplifier la fraction obtenue.
II — Division
Définition 14 : L’inverse d’une fraction a
b est la fraction b
a et on a a
b × b a = 1 (aveca et b non nuls).
Propriété 17 : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Soient a, b, cet d des nombres entiers avec b, cet d non nuls :
a b ÷ c
d = a b × d
c = a×d b×c. 2
3 ÷ 7 5 = 2
3× 5
7 = 2×5 3×7 = 10
21 2
3 ÷ 1 5 = 2
3× 5
1 = 2×5 3×1 = 10
3 5÷ 3
2 = 5 1÷ 3
2 = 5 1× 2
3 = 5×2 1×3 = 10
3 2
3 ÷5 = 2 3÷ 5
1 = 2 3× 1
5 = 2×1 3×5 = 2
15 Attention Il faut toujours simplifier la fraction obtenue.
Réciproque du théorème de Pythagore Cycle 4 - 4
eEspace et géométrie Cours
I — Réciproque du théorème de Pythagore
Théorème 2 : Si, dans un triangle, le carré de la longueur de son plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et son plus grand côté est son hypoténuse.
II — Applications de la réciproque
Exercice 4 : Soit ABC un triangle tel que AB= 3 cm, AC = 4 cm etBC = 5 cm.
Montrer que ABC est un triangle rectangle.
Correction
A B
C
3
4 5
BC2 = 52 = 25.
AC2+AB2 = 42+ 32 = 16 + 9 = 25 Donc BC2 =AC2+AB2.
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
Exercice 5 : Soit ABC un triangle tel que AB= 3 cm, AC = 4 cm etBC = 6 cm.
Montrer que ABC est un triangle rectangle.
Correction
A B
C
3
4 6
BC2 = 62 = 36.
AC2+AB2 = 42+ 32 = 16 + 9 = 25 Donc BC2 ̸=AC2+AB2.
Donc, d’après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Les bases du calcul littéral
Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Vocabulaire
Définition 15 : Une expression numérique est une suite de calculs mathématiques dans laquelle n’interviennent que des nombres.
Définition 16 : Une expression littérale est une suite de calculs mathématiques dans laquelle interviennent des nombres et de lettres. Ces lettres désignent des nombres dont on ne connaît pas la valeur. Ces lettres sont appelées des variables et sont souvent notées x, y,z.
• Attention : On n’écrit pas le symbole× devant des parenthèses ou devant une lettre : – 2×x s’écrit simplement 2x.
– 2×(3×x+ 4) s’écrit 2(3x4).
• Attention : On n’écrit pas 1x mais seulementx.
II — Égalité
Définition 17 : Une égalité est constituée de deux expressions mathématiques séparées par un signe =. Chaque expression est alors appelée membre : membre de gauche ou premier membre et membre de droite ou second membre. Les deux membres de l’égalité doivent avoir la même valeur.
Méthode 3 : Pour tester si une égalité est vraie, on remplace la ou les lettres par la ou les valeurs proposées. On calcule séparément chaque membre.
• Si les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vraie pour ces nombres.
• Si les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité est fausse pour ces nombres.
Prenons l’égalité 3x+ 1 = 4x.
• Si x= 1 alors
– 3x+ 1 = 3×1 + 1 = 4 – 4x= 4×1 = 4.
– Il y a égalité.
– Donc l’égalité est vraie pour x= 1.
• Si x= 2 alors
– 3x+ 1 = 3×2 + 1 = 7 – 4x= 4×2 = 8.
– Il n’y a pas égalité.
– Donc l’égalité est fausse pour x= 2.
III — Réduire une expression littérale
Définition 18 : Réduire une expression littérale revient à l’écrire avec le moins de termes possible. Pour cela, on regroupe les termes en x2, les termes en x et ceux sans lettres.
x+ 2x2+ 4x+ 5 + 3x2+ 5x+ 6 = 2x2+ 3x2+x+ 4x+ 5x+ 5 + 6
=5x2+10x+ 11.
Propriété 18 :
• Quand on supprime des parenthèses précédées du signe +, on supprime ces parenthèses et le signe+ puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses sans changer les signes.
• Quand on supprime des parenthèses précédées du signe −, on supprime ces parenthèses et le signe− puis on recopie ce qu’il y a entre ces parenthèses en changeant tous les signes.
3x+ (4x−6) = 3x+4x−6= 7x−6 3x−(4x−6) = 3x−4x+ 6=−x+ 6
Reconnaître la proportionnalité Cycle 4 - 4
eOrganisation et gestion de données, fonctions
Cours
I — Produit en croix
Définition 19 : Dans un tableau, si le quotient entre deux valeurs correspondantes est constant alors c’est un tableau de proportionnalité et on dit que les grandeurs sont proportionnelles. Ce quotient est appelé coefficient de proportionnalité.
A 1 2 3
B 2 4 6
2 1 = 4
2 = 6 3 = 2.
Donc, les grandeurs A et B sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est2.
A 1 2 3
C 3 6 12 .
3 1 = 6
2 = 3̸= 12 3 = 4.
Donc, les grandeurs A et C ne sont pas proportionnelles.
Propriété 19 : Dans un tableau de proportionnalité, le produit en croix permet de calculer une quantité si on en connaît trois autres dont deux proportionnelles.
a x b c On a donc b
a = c
x. Donc b×x=a×csoit x= a×c b .
• x 4
5 7 donc x= 5×4 7 = 20
7 .
• x 5 = 2
3 donc x= 5×2 3 = 10
3 .
II — Représentation graphique
Propriété 20 : Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère.
Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère alors c’est une situation de proportionnalité.
Attention : cela signifie aussi que si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points non alignés ou par des points alignés entre eux mais pas l’origine du repère alors ce n’est pas une situation de proportionnalité.
A B
0 1 2 3
0 1 2 3
Les grandeurs A et B sont proportionnelles car c’est une droite passant par l’origine du repère.
C D
0 1 2 3
0 1 2 3
Les grandeurs C et D ne sont pas proportionnelles car c’est une droite ne passant pas par l’origine du repère.
E F
0 1 2 3
0 1 2 3
Les grandeurs E et F ne sont pas proportionnelles car ce n’est pas une droite.
Développer et factoriser une expression Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Développer
Définition 20 : Étant donnés trois nombres k, a etb, on a k×(a+b) =k×a+k×b=ka+kb.
3x(5−4x) = 3x×5−3x×4x
= 15x−12x2
Définition 21 : Étant donnés quatre nombres a, b,c etd, on a
(a+b)×(c+d) = a×c+a×d+b×c+b×d=ac+ad+bc+bd.
(5x−2)×(4x+ 3) = 5x×4x+ 5x×3−2×4x−2×3
= 20x2+ 15x−8x−6
= 20x2+ 7x−6
Attention Il ne faut pas confondre 2x2 et(2x)2.
II — Factoriser une expression
Définition 22 : Factoriser une expression, c’est transformer les sommes en produits.
Propriété 21 :
1. On recherche tout d’abord une expression commune à chaque terme de l’expression : le facteur commun.
2. On recopie ce facteur commun.
3. On recopie entre crochets ce qui n’est facteur commun dans l’expression.
4. On réduit l’expression entre les crochets.
A =(x+ 1)(x+ 2) +(x+ 1)(x+ 3)
=(x+ 1)[(x+ 2) + (x+ 3)]
= (x+ 1) [x+ 2 +x+ 3]
= (x+ 1) [2x+ 5]
B = (x+ 1)(x+ 2) + (x+ 1)
=(x+ 1)(x+ 2) +(x+ 1)×1
=(x+ 1)[(x+ 2) +1]
= (x+ 1) [x+ 2 + 1]
= (x+ 1) [x+ 3]
C= (x+ 1)2−(x+ 1)(2x+ 3)
=(x+ 1)(x+ 1)−(x+ 1)(2x+ 3)
=(x+ 1)[(x+ 1)−(2x+ 3)]
= (x+ 1) [x+ 1−2x−3]
= (x+ 1) [−x−2]
Applications de la proportionnalité Cycle 4 - 4
eOrganisation et gestion de données, fonctions
Cours
I — Vitesse
Définition 23 : La vitesse moyenne d’un objet sur un trajet est la vitesse de cet objet s’il avait parcouru ce trajet pendant la même durée à une vitesse constante.
Propriété 22 : Formules En notant v la vitesse moyenne, d la longueur du trajet parcouru et t la durée du trajet, on a les formules suivantes :
v = d
t d=v ×t t= d
v. Exercice 6 : Convertir 2 h 36 min en heure décimale.
Correction
Il faut convertir 36 min en heure.
min 60 36
heure 1 ?
Ainsi? = 1×36
60 = 0,6.
Donc 36 min = 0,6 h.
Donc 2 h 36 min = 2,6 h.
Exercice 7 : Convertir 36 km/h en m/s.
Correction
La vitesse est de 36 km/h.
On parcourt donc 36 km en 1 heure.
On parcourt donc 36 000 m en 1 heure (1 km =1 000 m).
On parcourt donc 36 000 m en 3 600 s (1h=3 600 s).
On parcourt donc 36 000
3 600 m en 1 s.
On parcourt donc 10 m en 1 s.
La vitesse est donc de 10 m/s.
II — Echelle
Définition 24 : Sur un plan dit à l’échelle, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. Le coefficient de proportionnalité obtenu en divisant les longueurs sur la carte par les longueurs réelles exprimées dans la même unité s’appelle l’échelle du plan.
• Une échelle de 1/200 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 cm dans la réalité.
• Sur un plan à l’échelle 1/10, une longueur de 5 cm représente 5 × 10 = 50 cm dans la réalité.
• Sur un plan à l’échelle 1/10, une longueur de 20 m dans le réalité est représentée par une longueur de 20/10=2 m sur la carte.
III — Pourcentage
Propriété 23 : Un pourcentage de p% traduit une situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité p/100.
Ainsi, appliquer un taux de p% revient à multiplier par p/100.
Pour calculer les 30% de 750, on calcule 30
100 ×750 = 30×750
100 = 225.
Propriété 24 : Pour calculer un pourcentage, on fait un produit en croix pour déterminer une quatrième proportionnelle correspondant au nombre 100.
Exercice 8 : Dans un collège de 750 élèves, 225 élèves ont pris l’option Latin. Quel est le pourcentage d’élèves ayant pris cette option ?.
Correction
Nombre d’élèves latinistes 225 ? Nombre total d’élèves 750 100
?= 225×100
750 = 30. Ainsi 30% des élèves de ce collège ont pris l’option Latin.
IV — Ratio
Définition 25 : On dit que deux nombres a etb sont dans le ratio 16 :9 si a
b = 16 9 ou a
16 = b 9.
On dit que trois nombres a, b et csont dans le ratio 2 :3 :7 si x
2 = y 3 = z
7.
Exercice 9 : Arthur veut réaliser une vinaigrette de500mL dans laquelle le ratio huile : vinaigre est de 3 : 2. Quelle quantité d’huile et quelle quantité de vinaigre va-t-il utiliser ?
Correction
Un ratio3 : 2 signifie que pour3 doses d’huile, on met 2doses de vinaigre.
Le mélange contient donc 3 + 2 = 5doses.
500÷5 = 100.
Il faut donc que chaque dose fasse100 mL pour que l’on obtienne 500 mL de vinaigrette.
Il y aura donc100×3 = 300mL d’huile et2×100 = 200mL de vinaigre dans cette vinaigrette.
Équations
Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Définitions
Définition 26 : Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques (appelés membres de gauche et de droite de l’équation) dont l’une au moins est littérale.
Définition 27 : Une équation du premier degré à une inconnue est une équation dont les membres développés et réduits ne comportent qu’une inconnue d’exposant 1.
• 3x+ 2 = 5 est une équation du premier degré d’inconnue x.
• 4 = 5−t est une équation du premier degré d’inconnue t.
II — Résolution
Définition 28 : Résoudre une équation du premier degré à une inconnue revient à trouver la valeur qui vérifie l’égalité proposée. Cette valeur est appelée solution de l’équation.
• x= 3 est solution de l’équation 2x+ 5 = 11 car 2×3 + 5 = 11.
• Attention, certaines équations n’admettent aucune solution (par exemple 3x+ 6 = 3x−2).
• Attention, certaines équations admettent une infinité de solutions (par exemple 3x+ 2 = 3x+ 2).
Propriété 25 : Pour résoudre une équation, on utilise les propriétés suivantes :
• Si on additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.
• Si on multiplie ou divise par un même nombre non nul les deux membres d’une équation, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.
x+ 2 = 3 → x+ 2−2= 3−2 →x= 1 x−2 = 3 → x−2+2= 3+2 →x= 5
2x= 3 → 2x
2 = 3
2 →x= 3
x 2
2 = 3 → x
2×2= 3×2 →x= 6 Exercice 10 : Résoudre l’équation 7x−3 = 2x+ 6.
Correction
7x−3 = 2x+ 6
7x−3−2x= 6 on fait passer lesx du même coté
5x−3 = 6 on réduit l’expression
5x= 6 + 3 on isole le terme en x
5x= 9 on réduit l’expression
x= 9
5 on détermine la valeur dex
La solution de l’équation 7x−3 = 2x+ 6 est doncx= 9/5. Donc S = ß9
5
™ .
Attention Il est souvent conseillé de garder le résultat sous forme de fractions (valeur exacte) afin d’éviter des erreurs d’arrondi (valeur approchée).
III — Problème
Définition 29 : Mettre en équation un problème, c’est traduire son énoncé par une égalité mathématique.
Méthode 4 : Pour résoudre un problème,
• on définit la lettre de la quantité qu’on cherche (souvent x),
• on écrit l’équation correspondant au problème,
• on résout cette équation,
• on écrit une phrase-réponse indiquant la solution du problème.
Exercice 11 : Quel est le nombre dont le triple augmenté de4 est égal à 19? Correction
Notons x ce nombre (on définit tout d’abord ce qu’on cherche).
On doit résoudre3x+ 4 = 19 (on met le problème en équation).
3x+ 4 = 19 3x= 19−4 3x= 15
x= 15÷3 = 5.
La solution est donc le nombre 5.
Puissances de 10
Cycle 4 - 4
eNombres et calculs Cours
I — Définitions
Définition 30 : Soit n un nombre entier positif. Le produit de n facteurs égaux à 10 est noté 10n. 10n est alors appelée une puissance de 10 et se lit10 exposant n.
10n = 10| ×10×{z. . .×10}
nfacteurs égaux à10
= 1 0| {z }. . .0
nzéros
.
• 104 = 10 000
• 102 = 100 Propriété 26 :
• 101 = 10
• 100 = 1
• 102 se lit dix au carré
• 103 se lit dix au cube
Définition 31 : Soit n un nombre entier positif.
10−n= 1
10n = 0,0| {z }. . .01
nchiffres
= 0,0. . .0
| {z }
nzéros
1
• 10−2 = 0,01
• 10−5 = 0,00001
Propriété 27 : Soient m et n deux nombres entiers relatifs :
• 10m×10n= 10m+n • 10m
10n = 10m−n • (10m)n= 10m×n
• 103×105 = 103+5= 108
• (103)−2 = 103×(−2) = 10−6
• 103
104 = 103−4 = 10−1 Attention : 103
10−4 = 103−(−4) = 103+4 = 107
II — Préfixes
Définition 32 : Pour nommer plus rapidement certains puissances de 10, on leur a donné des noms :
• 109 se lit un giga et se note 1 G.
• 106 se lit un méga et se note 1 M.
• 103 se lit un kilo et se note 1 k.
• 10−3 se lit unmilli et se note 1 m.
• 10−6 se lit unmicro et se note 1 µ.
• 10−9 se lit unnano et se note 1 n.
• 1 Go = 109 octets.
• 1 µm= 10−6 m = 10−3 mm.
III — Écriture scientifique
Définition 33 :La notation scientifique d’un nombre décimal est de la forme a×10n
où
• a est un nombre décimal tel que 1≤a <10;
• n est un nombre entier relatif.
• L’écriture scientifique de 362,4 est3,624×102.
• L’écriture scientifique de 0,018 est1,8×10−2.
IV — Utilisation de la calculatrice
Avec la calculatrice 3 :
• Pour calculer 104 on tape 10^4
• Pour calculer 10−6 on tape 10^p6
Statistiques Cycle 4 - 4
eOrganisation et gestion de données, fonctions
Cours
I — Vocabulaire
Définition 34 : Les statistiques sont un ensemble d’outils mathématiques permettant de dé- terminer des caractéristiques d’un ensemble de données. A la différence des probabilités, toutes les données sont déjà connues.
Définition 35 : Voici la liste des termes utilisés en Statistiques :
• Population : ensemble sur lequel porte l’étude.
• Individu : un élément de l’ensemble étudié.
• Caractère : critère étudié dans la population.
• Effectif d’une valeur : nombre d’éléments correspondant à cette valeur.
• Effectif total : nombre total d’éléments.
• Fréquence d’une valeur : quotient de l’effectif d’une valeur par l’effectif total.
Par exemple, si on considère une série de notes d’un devoir pour une classe :
• La population est l’ensemble des notes.
• L’individu est une note.
• Un caractère peut être de savoir si une note est supérieure à 10.
• L’effectif d’une valeur est le nombre de notes égales à cette valeur.
• L’effectif total est le nombre total de notes.
• La fréquence d’une valeur peut être de savoir combien il y a de notes au dessus de 10 (en pourcentage).
• Liste non ordonnée des notes de deux élèves A et B Élève A : 9 - 11 - 18 - 7 - 17 - 11 - 12 - 18
Élève B : 13 - 13 - 12 - 10 - 8 - 14 - 12 - 10 - 11.
• Liste ordonnée croissante de ces notes Élève A : 7 - 9 - 11 - 11 - 12 - 17 - 18 - 18 Élève B : 8 - 10 - 10 - 11 - 12 - 12 - 13 - 13 - 14.
• Tableau d’effectifs en fonction de l’élève
Élève A : Notes 7 9 11 12 17 18
Effectif 1 1 2 1 1 2
Élève B : Notes 8 10 11 12 13 14
Effectif 1 2 1 2 2 1
II — Moyennes
Définition 36 : La moyenne d’une série statistique est le nombre égal à la somme des données de la série divisée par l’effectif total de la série. On la note souvent x.¯
Pour l’élève A :
¯
x= 9 + 11 + 18 + 7 + 17 + 11 + 12 + 18
8 = 103
8 = 12,875.
Pour l’élève B :
¯
x= 13 + 13 + 12 + 10 + 8 + 14 + 12 + 10 + 11
9 = 103
9 ≈11,444.
Définition 37 : La moyenne pondérée d’une série statistique est la somme des produits de chaque donnée par son coefficient divisée par la somme des coefficients. On la note aussi souvent x.¯
Pour un élève, cela correspond à mettre des coefficients à certains devoirs. Pour les deux élèves A et B, il n’y a pas de coefficient (chaque note a la même importance), la moyenne pondérée est donc la moyenne classique.
• Pour l’élève A :
¯
x= 7×1 + 9×1 + 11×2 + 12×1 + 17×1 + 18×2
1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 = 103
8 = 12,875.
• Pour l’élève B :
¯
x= 8×1 + 10×2 + 11×1 + 12×2 + 13×2 + 14×1
1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 103
9 ≈11,444.
III — Médiane
Définition 38 : La médiane d’une série statistique est la valeur qui partage une série statistique ordonnée en deux séries de même effectif. On note généralement cette valeur Med.
• Pour l’élève A, il y a 8 notes. On partage donc la série en deux séries de 4 données.
7 9 11 11
| {z }
4notes
12 17 18 18
| {z }
4notes
Pas de noteau milieu.
La médiane est alors la moyenne des deux notes du milieu : Med= 11 + 12
2 = 11,5.
• Pour l’élève B, il y a 9 notes. On partage la série en deux séries de 4 données.
8 10 10 11
| {z }
4notes
12 12 13 13 14| {z }
4notes
La médiane est alors la valeur dumilieu : Med = 12.
IV — Étendue
Définition 39 : L’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite valeur de la série.
• Pour l’élève A, l’étendue est18−7 = 11.
• Pour l’élève B, l’étendue est 14−8 = 6.
V — Fréquence
Définition 40 : La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. Elle peut être écrite sous forme de nombre décimal, de fraction mais le plus souvent sous la forme d’un pourcentage.
• Pour l’élève A, la fréquence de la note 11 est de 2
8 ×100 = 25%.
• Pour l’élève B, la fréquence de la note 11 est de 1
9×100≈11,1%.
VI — Utilisation de la calculatrice (Casio fx 92 - Spéciale Collège)
Avec la calculatrice 4 : Supposons qu’on souhaite entrer le tableau suivant : Notes 7 9 11 12
Effectif 3 1 2 1
• w21 pour entrer dans le mode STATS et entrer un tableau
• 7B pour entrer la première note
• 9B pour entrer la seconde note
• 11Bpour entrer la troisième note
• 12Bpour entrer la dernière note.
• R$pour aller dans la colonne effectif.
• 3B pour entrer l’effectif de la première note
• 1B pour entrer l’effectif de la seconde note
• 2B pour entrer l’effectif de la troisième note
• 1B pour entrer l’effectif de la dernière note.
• C pour finir.
Normalement, cela affiche : Statistiques 1 variable.
Avec la calculatrice 5 : Récupérer les résultats, on tape les commandes suivantes :
• T2pour calculer les valeurs
• pour la moyenne, on lit la valeur de x¯ : x¯= 9,14.
• pour la médiane, on lit la valeur de Med : Med= 9.
• pour l’étendue, on lit max(x) etmin(x) et on les soustrait :12−7 = 5.
Théorème de Thalès
Cycle 4 - 4
eEspace et géométrie Cours
I — Théorème de Thalès
Théorème 3 : Soient (M B)et (CN) deux droites sécantes en A.
Si les droites(M N) et(BC) sont parallèles, alors AM
AB = AN
AC = M N BC
Trois positions sont possibles pour la droite (M N). Les deux premiers sont les cas dits clas- siques et le dernier est dit configuration en papillon.
A
A A
B C B C B C
M N
M N
M N
Le théorème de Thalès permet, à partir de deux droites parallèles, 1. principalement de calculer des longueurs,
2. d’obtenir des relations de proportionnalité sur des longueurs 3. d’obtenir des relations de proportionnalité sur des aires.
Exercice 12 : Soient (AC)et (AB) deux droites sécantes enA.
Soient M un point de(AB) et N un point de (AC)tels que (M N) soit parallèle à (BC).
Supposons que AB= 5 cm, AM = 3 cm, M N = 8 cm et AC = 7 cm.
Calculer les longueurs AN et BC au mm près.
Correction
Les droites (M B) et(N C)sont sécantes en A.
Les droites (M N)et (BC)sont parallèles.
On applique le théorème de Thalès :
AM
AB = AN
AC = M N BC 3
5 = AN 7 = 8
BC
DoncAN = 3×7
5 = 4,2. La longueur AN mesure 4,2 cm.
DoncBC = 5×8 3 = 40
3 = 13,3. La longueurBC mesure 13,3 cm.
II — Agrandissement et réduction
Propriété 28 : Lorsqu’on utilise le théorème de Thalès, on passe d’un triangle à un autre. Les longueurs de ces deux triangles sont liées par des égalités de rapports. Notons k la valeur de ces rapports égaux.
• Si k > 1, on passe d’un petit triangle à un grand triangle. On dit qu’on réalise un agran- dissement de coefficient k.
• Sik <1, on passe d’un grand triangle à un petit triangle. On dit qu’on réalise une réduction de coefficient k.
Propriété 29 : Dans le cas d’un agrandissement ou d’une réduction de coefficient k, 1. les longueurs sont multipliées park
2. les aires sont multipliées park2.
Ainsi, dans un agrandissement de coefficient3,
• les longueurs sont multipliées par3,
• les aires sont multipliées par32 = 9.
Probabilités
Cycle 4 - 4
eOrganisation et gestion de données, fonctions
Cours
I — Définitions
Définition 41 : Une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne connaît pas à l’avance quel résultat va être obtenu.
Expérience : Jeter un dé à 6 faces.
Définition 42 : Le résultat d’une expérience s’appelle une issue.
Les issues de cette expérience sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Définition 43 : Un évènement est l’ensemble des résultats que l’on peut obtenir lors d’une expérience aléatoire. Il est constitué d’une ou plusieurs issues. On dit qu’il est réalisé quand le résultat d’une expérience est l’une des issues qui le composent.
Un évènement peut être “Obtenir un six” ou “obtenir un nombre pair”.
Définition 44 : Un évènement certain est un évènement toujours réalisé : il contient toutes les issues de l’expérience.
L’évènement certain de cette expérience est “Obtenir un nombre entier compris entre 1 et 6”.
Définition 45 : Un évènement impossible est un évènement qui ne se réalise jamais. Il ne contient aucune issue de l’expérience.
Un évènement impossible pourrait être “Obtenir un 7”.
Définition 46 : Un évènement élémentaire est un évènement constitué d’une seule issue.
Un évènement élémentaire pourrait être “Obtenir un 1”.
Définition 47 : L’évènement contraire d’un évènement A est l’évènement qui se réalise quand l’évènement A n’est pas réalisé. On le note A.¯
L’évènement contraire de “Obtenir un 1” est “Obtenir 2, 3, 4, 5 ou 6”.
Définition 48 : Deux évènements sont dits incompatibles quand ils ne peuvent se réaliser en même temps.
“Obtenir un 1” et “Obtenir un 3” sont incompatibles.
II — Probabilités
Définition 49 : La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui estime la chance qu’a cet évènement de se produire.
Dans une expérience aléatoire, la probabilité d’un évènementAest notée p(A) et est égale au quotient suivant
p(A) = nombre d’issues favorables à l’évènement A nombre d’issues possibles
Dans l’expérience “Jeter un dé à 6 faces”, la probabilité de l’évènementA=”Obtenir un 1” est égale à
p(A) = 1 6.
Définition 50 : Lorsque chaque évènement élémentaire a la même chance de se réaliser, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Dans l’expérience “Jeter un dé à 6 faces”, chaque évènement
• ”Obtenir un 1”,
• ”Obtenir un 2”,
• ”Obtenir un 3”,
• ”Obtenir un 4”,
• ”Obtenir un 5” et
• ”Obtenir un 6”, a la même chance de se produire avec la probabilité
p= 1 6.
III — Arbre de probabilité
Définition 51 : Un arbre de probabilité est un schéma représentant une expérience aléatoire à une ou plusieurs épreuves. Une branche représente un évènement. On appelle chemin une succes- sion de branches.
Définition 52 : Un arbre pondéré est un arbre de probabilité sur lequel on fait apparaître les probabilités de chaque évènement.
Propriété 30 : Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un évènement est égale au produit des probabilités indiquées sur les branches du chemin qui conduit à cet évènement.
Expérience : Lancer une pièce deux fois et noter à chaque fois si elle tombe sur pile (P) ou sur face (F). Si la pièce est bien équilibrée (c’est à dire non truquée), les évènements
• “P : Obtenir pile”
• “F : Obtenir face”
sont équiprobables :
p(P) =p(F) = 1 2. L’arbre pondéré correspondant à cette expérience est alors :
P
P 1
2
F 1
1 2 2
F
P 1
2
F 1
2 1
2
p(P et P) = 1 2× 1
2 = 1 4
p(P et F) = 1 2× 1
2 = 1 4
p(F et P) = 1 2× 1
2 = 1 4
p(F et F) = 1 2× 1
2 = 1 4
Ainsi, si on considère l’évènementA=”Obtenir pile puis face”, sa probabilité est p(A) = p(P etF) = 1
2 × 1 2 = 1
4.
Volumes
Cycle 4 - 4
eGrandeurs et mesures Cours
Définition 53 : Un prisme droit est un solide qui a
• deux faces parallèles et superposables qui sont des polygones appelées bases ;
• des faces rectangulaires perpendiculaires aux bases, appelées faces latérales.
h
Prisme de hauteur h.
Définition 54 : Un cylindre droit ou cylindre de révolution est un solide qui a
• deux disques superposables appelés bases ;
• une surface entourant les bases dont le patron est un rectangle appelée surface latérale.
r
h
Cylindre de révolution de hauteurh et de rayon r.
Définition 55 : Un cône de révolution est un solide qui a
• une base qui est un disque ;
• une surface latérale ;
• un sommet.
h
r
Cône de révolution d’hauteur h et de rayon r.
Définition 56 : Une pyramide est un solide qui a
• une base qui est un polygone ;
• des faces latérales qui ont un sommet commun qui est le sommet de la pyramide.
h
Pyramide à base carrée de hauteur h
Définition 57 : L’unité de volume usuelle est le mètre cube notée m3. Elle correspond au volume d’un cube d’un mètre d’arête.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Le cube
c
V =c3 =c×c×c
Le pavé droit (parallélépipède rectangle)
h
L
ℓ V =L×ℓ×h Le prisme droit
h
V =ABase×h
Le cylindre r
h
V =π×r2×h
La pyramide
h
V = ABase×h 3
Le cône
h
r
V = π×r2×h 3
Figures à découper et à coller
h
Prisme de hauteurh.
r
h
Cylindre de révolution de hauteur h et de rayon r.
h
r
Cône de révolution d’hauteur h et de rayon r.
h
Pyramide à base carrée de hauteur h
Le cube
c
V =c3 =c×c×c
Le pavé droit (parallélépipède rectangle)
h
L
ℓ V =L×ℓ×h Le prisme droit
h
V =ABase×h
Le cylindre r
h
V =π×r2×h La pyramide
h
V = ABase×h 3
Le cône
h
r
V = π×r2×h 3
