Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition etChapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et soustraction»soustraction»

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Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et

soustraction»

I. Addition de nombres relatifs

1/ Rappels

• Un nombre relatif est un nombre qui est soit positif, soit négatif.

• Compare –7,1 et –7,01 : –7,01–7,1.

• On rappelle qu'un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, et que l'ordre est « inversé » lorsqu'on a deux nombres négatifs : 57 et –5–7 .

2/ Activité

Activité 1 page 98

• Partie A

1/ Les gains sont exprimés par des nombres positifs, les pertes par des nombres négatifs.

Roulette Machines à sous

1 80 12

2 –45 –75

3 23 –23

4 –39 64

5 13 –81

2/ a/ Il a gagné 92 euros (le premier jour) : 8012=92 b/ Il a perdu 120 euros : –45–75=–120

c/ Il n'a ni gagné, ni perdu ; il lui reste 0 euro : 23–23=0

d/ Le 4^èmejour, il gagne plus qu'il ne perd, on obtient donc un résultat positif :

–3964=25

Le 5^èmejour, il perd plus qu'il ne gagne, on obtient donc un résultat négatif :

13–81=–68 3/ Pas faite..

• Partie B

58=13

–3,59,5=6

–75–25=–100

100–250=–150

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3/ Méthodes de calculs

Lorsque les deux nombres sont de même signe

–17–11=–28

On a ajouté 17 avec 11, cela donne 28 ; le résultat est du même signe que –17 et –11.

4,57,5=12

On a ajouté 4,5 avec 7,5, cela donne 12 ; le résultat est du même signe que 4,5 et

7,5.

Lorsque les deux nombres sont de signes contraires

–3,59,5=6

Le résultat est positif car 9,5 est le plus fort des deux nombres ; puis on effectue une différence pour calculer le résultat.

–95=–4

Le résultat est négatif car –9 est le plus fort ; on effectue ensuite une différence.

Avec des décimaux (exemples)

18,54–36,76=–18,22

2,8–2,8=0

34,2–15,7=18,5

–5,734,2=28,5

4/ Lorsqu'il y a plus de deux termes

A=–27–51–11

Il y a deux méthodes :

• 1 ^ère méthode : « on calcule de gauche à droite progressivement » A=–27–51–11

A=5–51–11

A=01–11

A=1–11

A=–10

• 2 ^ème méthode : « on calcule les positifs entre eux et les négatifs entre eux » A=–27–51–11

A=8–18

A=–10

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Autres exemples Calcule :

B=–511–7–1531100

B=142–27

B=115

C=1,2–5,53,6–7,7

C=4,8–13,2

C=–8,4

5/ Distance à zéro ; nombres opposés

Définition (explication)

• La distance à zéro de 4 correspond à la longueur BO où B4 et O est l'origine de l'axe : c'est 4 .

• 4 et –4 sont deux nombres opposés : ils correspondent aux abscisses des points A et B qui sont symétriques par rapport à l'origine.

II. Soustraction de nombres relatifs

1/ Activité

• Abscisses des points :

A6 ; B–1 ; C–4 ; D3 ; E–2,5 ; F–6 ; G1,5.

• Calculer des longueurs : AB=6––1=7 AD=6–3=3 DG=3–1,5=1,5 GC=1,5––4=5,5

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Une autre activité L'ascenseur....

• Je pars du 4^ème sous-sol, je monte jusqu'au 6^ème étage ; je suis donc monté de 10 étages. Cela se traduit par l'égalité suivante : 6––4=10

• De même pour les soustractions suivantes :

3––5=8

–2–4=–6

–5––3=–2

• On remarque que cela revient à faire des additions de nombres relatifs. En effet :

3––5=35=8

–2–4=–2–4=–6

2/ Méthodes de calcul

Lorsqu'on soustrait deux nombres relatifs, on remarque que cela revient à faire une addition.

Par exemple : faire 5–7 revient à additionner 5 et –7 ; on prend l'opposé du deuxième terme.

Donc : 5–7=5–7=–2 . On peut toujours vérifier ce résultat grâce à la méthode de « l'ascenseur » : je pars du 7^èmeétage, je descends au 5^èmeétage ; je suis descendu de deux étages, cela correspond à –2 .

Propriété

Pour soustraire deux nombres relatifs, il suffit d'ajouter le premier à l'opposé du deuxième. On dit aussi que « soustraire par un nombre revient à ajouter son opposé ».

Exemples

–8––13=–813=5

–11–8=–11–8=–19

III. Sommes algébriques

Un exemple

A=3––52–8

A=352–8

A=10–8

A=2

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Méthode sur un exemple

X=–524––3–7 « On repère les soustractions »

X=–5243–7 « Je transforme les soustractions en additions mais je prends l'opposé du terme qui suit »

X=–129 « Je calcule les termes de même signe » X=−3 « Je calcule le résultat final ».

IV. Simplifications d'écritures

Exemples

A=–37–8–5

A=–37 –8 –5

On a supprimé les parenthèses et les signes d'addition. De même : B=6–8–211,5–88

B=6–8–211,5–88

Inversement, il faut comprendre que l'expression C=–584–7–9 est une succession d'additions ; les nombres additionnés sont –5, 8, 4, –7 et –9.

Calculons :

C=–584 –7 –9

C=–5 –7 –984 (on regroupe les nombres négatifs) C=–21 12

C=–9

Règles de simplifications

• Dans une somme de nombres relatifs, on peut supprimer les parenthèses et les signes d'addition : 8–5=8 –5=3

• Un signe  en début de ligne peut être supprimé : 8 –5=8–5=3

D'autres exemples

D=–74 –8 –32,5

On doit comprendre D=–74–8–32,5

D=6,5 –18 D=–11,5

E=3,5–87,52–4,5–1 E=13 –13,5

E=–0,5

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V. Remplacer dans une expression littérale

On considère l'expression littérale suivante :

A=x – yz où x, y et z représentent trois nombres.

• Calcule A pour x=–5,2 ; y=6 et z=–4,1 Il faut penser A ainsi : –

En remplaçant, on obtient donc : A=–5,2–6–4,1

A=–5,2–6–4,1

A=–15,3

• Calcule A pour x=2,8 ; y=–3,2 et z=–5 A=2,8––3,2–5

A=2,83,2–5

A=6–5

A=1

x y z