1 Nombres relatifs : addition et soustraction
Exercice 1.1 Effectuer les calculs ci-dessous : a (−5) + (−3)
b (−5) + (+2) c (−5) + (−3) d (+3) + (−7) e (−3) + (−3)
f (+5)−(+3) g (−3)−(−3) h (−7)−(+13)
i (+2) + (−5) j (−3)−(−4)
k (−5)−(+2) l (+2)−(−7) m (−6) + (−2) n (+7)−(+2) Exercice 1.2 Recopier et complèter le tableau suivant :
a b a+b b−a
6 3
−2 1
9 −3
−15 −5
−6 −3
−4 8 Exercice 1.3 Effectuer les calculs suivants.
a (+3) + (−5) + (+1) + (−1)
b (−2) + (−4) + (+6) + (−1) + (+7) c (+7) + (−2) + (−4) + (+3)
d (−2) + (+1) + (+4) + (−3)
Exercice 1.4 Pour chaque expression, quatre formes simplifiées sont proposées mais une seule est exacte.
Donner la forme correcte et effectuer le calcul de l’expression.
1 (+2)−(+8)−(−4) + (−3) : a 2−8−4−3
b 2 + 8 + 4 + 3
c 2−8−4 + 3 d 2−8 + 4−3 2 (−7)−(−3) + (+5)−(+4) :
a 7 + 3 + 5−4 b −7−3 + 5−4
c −7−3 + 5−4 d −7 + 3 + 5−4 Exercice 1.5 Effectuer les calculs suivants :
a 2−7 + 5−4−9 b 2 + 3−(5−9)
c −2 + 9−(3 + 7)
d (3 + 2) + [3−(4−7)]−2.
Exercice 1.6 Effectuer les calculs suivants :
a −2−3 + (−5 + 2) b 2−(5−2−4) + 1
c 2−4−9 + 4 + 7 d (7−12)−(5−12 + 8) Exercice 1.7 Effectuer les calculs suivants :
a 2−[5 + (−7 + 2)] b −(−5 + 2) + [(−8 + 3)−7]
2 Triangles isométriques
Exercice 2.1 Réaliser, à partir du segment [DE], quatre triangles différents égaux au triangleABC.
Exercice 2.2 Sur la figure ci-contre, les pointsA, B etL sont alignés et AB=KB.
a Les triangles ABC et BKLsont-ils égaux ? b Donner une longueur égale àAC.
c Donner une longueur égale àBC.
d Donner un angle de même mesure que\ACB.
Exercice 2.3 Ces triangles tracés à main levée sont-ils égaux ? Justifier.
Exercice 2.4 Le triangle ABD est isocèle en D et I est le milieu de [AB]. On place deux pointsE etF tels queAE =BF.
Les triangles AEI etBF I sont-ils égaux ? Justifier.
Exercice 2.5 Démontrer que les triangles ABC etDEF sont superposables.
Exercice 2.6 Soit la figure ci-contre, pour laquelle [AB] et [CD] sont deux diamètres d’un cercle de centre O.
Exercice 2.7 Soit ABC un triangle. La demi-droite [AI) est la bissectrice de l’angle \BAC. Soient M etN
a Démontrer que les triangles OAC et OBDsont isométriques.
b Qu’en déduit-on pour les segments [AC] et [BD] ?
a Justifier que les triangles ABN et AM C sont égaux.
b Quelles propriétés peut-on déduire de cette égalité ?
Exercice 2.8 Soit ABCD un parallélogramme de centre O. On construit deux droites (D) et (D0) orthogo- nales en O. La droite (D) coupe le côté [AB] du parallélogramme en I, le côté [CD] enK. La droite (D0) coupe le côté [AD] en L et le côté [BC] en J.
a Faire une figure.
b Démontrer que les triangles OAI etOCK sont isométriques.
c Démontrez que les trianglesOAL etOCJ sont isométriques.
d Justifier les égalités suivantes :
IO=OK etOJ =OL.
e En déduire queIJ KL est un losange.
Exercice 2.9 SoitABCDun parallélogramme. Prouver que les triangles ABC etACDsont superposables.
3 Statistiques I
Exercice 3.1 Dans le tableau ci-dessous, des données statistiques ont été représentées : 6ème 5ème 4ème 3ème Total
Demi-pensionnaires 84 85 72 37 . . .
Externes 81 65 48 68 . . .
a Quelle est la population étudiée ? b Quels sont les caractères étudiés ?
c Compléter la colonne Totaldes effectifs pour chaque caractères. Quel est l’effectif total de la popula- tion ?
Exercice 3.2 Le professeur de mathématiques à relevé les notes suivantes au dernier contrôle :
Note 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Effectif 2 3 1 4 5 3 3 6 2 1
a Donner la population étudiée ainsi que le caractère étudié.
b Quel est l’effectif total ?
c Donner les fréquences associées aux caractères.
d Représenter les données de cette série statistiques avec un diagramme en bâtons.
Exercice 3.3 On a mesuré la taille en centimètres des élèves d’une classe. Comme les données sont nom- breuses, on les a regroupées en classes d’amplitude 5 cm.
Taille (cm) [130; 135[ [135; 140[ [140; 145[ [145; 150[ [150; 155[ [155; 160[
Effectifs 2 10 6 4 2 6
Réaliser un histogramme pour représenter graphiquement cette série statistique.
Exercice 3.4 Voici la répartition de 100 élèves de 4ème d’un collège selon leur choix de seconde langue vivante :
LV2 Allemand Espagnol Italien Anglais Total
Effectif 15 50 10 25 100
Angle 360
a Compléter les cases du tableau laissées blanches. On pourra s’appuyer sur la proportionnalité.
b Représenter le diagramme circulaire associé.
Exercice 3.5 Une crèche accueille 70 enfants. Pour une journée de crèche, le prix varie entre 4 euros et. 24 euros selon le revenu. Voici le tableau des effectifs résumant les sommes perçues par la crèche lors d’une journée :
Prix (euros) [4; 8[ [8; 12[ [12; 16[ [16; 20[ [20; 24[
Nombre de familles 6 16 24 20 4
Tracer l’histogramme associé à ce tableau des effectifs.
Exercice 3.6 Voici les moyens de transport d’élèves d’une classe pour venir au collège.
Moyen de transport A pied Bus 2 roues Voiture
Effectif 10 3 12 5
Représenter ces données par un diagramme circulaire (choisir un cercle de rayon 5 cm).
Exercice 3.7 On s’intéresse au poids des élèves de quatrième. Les résultats de l’enquête donnent leur poids (kg) :
42,43,38,37,41,45,43,40,48,53,37,39,42,41,42,45,51,56,44,36,36,55,48,43,39,41,42,40,39,57.
On décide de regrouper ces poids dans des classes d’amplitude 4 kg.
a Compléter le tableau suivant :
Poids (kg) 36≤p <40 40≤p <44 44≤p <48 48≤p <52 52≤p <56 56≤p <60 Effectifs
b Représenter l’histogramme correspondant.
4 Puissances
Exercice 4.1 Donner l’écriture mathématique des nombres suivants ainsi que le calcul final.
a La puissance du nombre 5 à l’exposant 4.
b La puissance du nombre 4 à l’exposant 9.
Exercice 4.2 Compléter les pointillés : a Un millier s’écrit 1000 ou encore 10.... b Un million s’écrit 1 000 000 ou encore 10....
c Un milliard s’écrit 1 000 000 000 ou encore 10.... Exercice 4.3
a Prouver l’égalité 54×52 = 56.
b Donner la valeur sous forme simple des expressions suivantes : (−2)3 ; (−2)4 ; (−1)100. c Simplifier les expressions suivantes :
C= 72×75 ; D= 53×53 ; E= 34×37. Exercice 4.4 Simplifier les expressions suivantes :
a 35×38 b 68×64 c 75×79 d 52×513.
Exercice 4.5
a Justifier l’égalité suivante :
(2×3)4 = 24×34. b Développer les expressions suivantes :
J = (3×5)3 ; K= (2×7)5 ; L= (2×5)4. Exercice 4.6 Simplifier les expressions suivantes :
a 35×25 b 32×52 c 43×53
Exercice 4.7
a En simplifiant le quotient, justifier l’égalité : 78 73 = 75. b Simplifier les fractions suivantes :
F = 25
22 ; G= 78
711 ; H= 52×510 59 .
Exercice 4.8 Simplifier les expressions suivantes : a 77106
b 6674
c 121284
d 1313157
e 3352
f 8832
g 4456
h 992
Exercice 4.9
a Justifier l’égalité
I = (23)4= 212. b Développer les expressions suivantes :
J = (32)5 ; K = (54)3 ; L= (73)3. c Simplifier les expressions suivantes :
54×57 ; 68
65 ; (25)3. Exercice 4.10 Simplifier l’écriture des expressions suivantes :
a 105×108 b 102×107
c 1014×1021 d 103×1012×104
e (102)3 f (104)2
g (103)3 h (104)6 Exercice 4.11 Simplifiier l’écriture des expressions suivantes :
a 101052 b 1010126 c 101074 d 10102114
Exercice 4.12 Simplifier les expressions suivantes : a 10−5×107
b 10−2×10−2
c 10−3×105 d 1010−35
e 1010−25
f 105×10−8×102
g 102×10−1×10−2 h 1010−7−7
Exercice 4.13 Effectuer les calculs suivants : a 10×1010−8−4
b 10510×10−3−4
c 10−1210×104 8
d 10210×10−4−9
e 10−3×(105×10−3)2 f (2×105)×(5×103) Exercice 4.14 Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
a 0,0045×106 b 251,37×10−11
c 0,031×10−7 d 312×105
e 0,00219×106 f 39,78×1015
g 56,8×102 h 123,45×10−4
5 Théorème de Pythagore
Exercice 5.1 Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : a Le carré du nombre 5 est 10.
b La racine carrée du nombre 3 est 9.
c Le nombre 25 a pour racine carrée 5.
d La racine carrée du nombre 1000 a pour valeur 100.
Exercice 5.2 Compléter les affirmations ci-dessous :
a La racine carrée du nombre 81 est . . . . b Le nombre 4 est la racine carrée du nombre . . . . c La racine carrée du nombre 0 a pour valeur . . . . d Le carré du nombre 3 a pour racine carré . . . . Exercice 5.3 On considère un triangleABC rectangle en C et vérifiant :
CA= 6 m , CB = 1,1 m.
Compléter le raisonnement suivant :
Je sais . . . . J’utilise . . . . J’en déduis . . . . Exercice 5.4 Dans chacun des triangles ci-dessous, déterminer la longueur inconnue.
Exercice 5.5 On considère le triangle DEF rectangle en E tel que DE = 6 cm ; EF = 6,3 cm.
Déterminer la mesure du côté [DF].
Exercice 5.6 On considère le triangle ABC rectangle en C tel que AB= 13 cm ; AC = 6,6 cm.
Déterminer la mesure du segment [BC].
Exercice 5.7 On considère le triangle ABC rectangle en C tel que AB= 26 m ; BC = 24 m.
Déterminer la mesure du segment [AC].
Exercice 5.8 On considère le triangle ABC rectangle en A représenté ci-dessous tel que AB= 7,2 cm ; BC = 9 cm.
Déterminer la longueur du côté [AC].
Exercice 5.9 A la suite d’une tornade, un poteau en bois s’est brisé. Ci-dessous est représenté ce poteau brisé. Déterminer la hauteur du poteau avant la tornade.
Exercice 5.10 Soit ABC un triangle équilatéral. SoitH le pied de la hauteur issue deA portée sur le côté [BC].
a Que dire de la distanceBH? b Calculer la longueurAH.
6 Nombres relatifs : multiplication, division et priorités
Rappels sur addition et soustraction
Exercice 6.1 Effectuer les calculs suivants.
a (+5)−(+3) b (−3)−(−3)
c (+2)−(−7) d (−6) + (−2)
e (−7) + (−2) + (+4) + (−1) f (+5) + (−4)−(+7)
Exercice 6.2 Effectuer les calculs suivants.
a (+2) + (−4)−(+8) + (+1)−(−7) b (+7)−(−1)−(−5) + (+3) + (−4)
c (−5) + (+2)−(−4)−(+7)−(−1) d (−7)−(−2) + (−3)−(+1)
Exercice 6.3 Effectuer les calculs suivants.
a 3−(5−8)
b −[3−(9−2×10)]
c 2 + (−3−8)−(2×3−9) d 5−[4−(9−12)]
Multiplications
Exercice 6.4 Effectuer les calculs suivants.
a +3×(+7) b (+10)×(−4)
c (−5)×(+7) d +7×(+9)
e 3×(−8) f (−4)×(+9) Exercice 6.5 Effectuer les produits suivants :
a (−2)×3 b (−4)×(−3) c (+8)×(−3)
Exercice 6.6 Donner le signe de chacun des calculs suivants : a (−1)×(−1)×(−1)
b (−2)×(−2)×(−2)×(−2)×(−2)
c (−1)×(−2)×(−3)×(−4)
d (−1)×(−2)×(−3)×(−4)×(−5) Exercice 6.7 Effectuer les produits suivants :
a −3×(−2)×5×(−3) b 2×(−8)×(−3) c (−4)×5×2 Exercice 6.8 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausse ?
a La somme d’un entier relatif positif avec un entier relatif négatif est toujours positive.
b Le produit de 58 nombres négatifs est négatif.
c La somme de 58 nombres négatifs est négatif.
Exercice 6.9 Calculer a −5 + 2×(−3) b −3 + 5×(−2)
d 4×(−5)−5 e 3−2×5
g −2×3−3
−(−3)× −
Exercice 6.10 Certains nombres des égalités ci-dessous ont été cachés. Trouver les nombres manquants.
a (−2)×= 36 b ×2 + 3 =−19
c (−7)×=−14
d ×2−7×(−2) =−2.
Exercice 6.11 On donne le programme de calcul suivant : Etape 1 Choisir un nombre.
Etape 2 Lui ajouter 1.
Etape 3 Élever le résultat au carré.
Etape 4 Soustraire le carré du nombre de départ.
a Montrer que lorsque l’on choisit le nombre 2 au départ, on obtient le nombre 5 au final.
b Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit au départ le nombre−3 ? Exercice 6.12 Calculer :
a 15−[8 + 3×(−2)]
b (8−15)×[−12−(−2)×5]
c [2×(−4)−5×3]×2 d 5−(−2−3)
Exercice 6.13 Calculer :
a (−2×4)2 b −(−2)3 c −[3×(−2)2] d [3×(−2)]2 Exercice 6.14 Calculer :
a (−8 + 2×3)2 b [(5−9)2−32]2 c −[2−(−3)3]2 d −[1−(−3)2]3 Exercice 6.15 Ecrire les fractions sous leurs formes simplifiées :
a −5−8 b −3+2 c −75 d −12
Exercice 6.16 Simplifier les fractions.
a −62
b 156
c −16−4
d −1421
e −35
f −150−100
Exercice 6.17 Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme simplifiée : a 5×2−75−8
b 3×(−2)+43−32
c 5−2×35×6
d 2−[5−3×(2−4)]
2−15÷5
e 3×2−52−2×2
f −3×(−2)+45−3×2
7 Proportionnalité
Exercice 7.1 Déterminer la valeur du coefficient permettant de passer de la première ligne du tableau à la seconde.
Exercice 7.2 Déterminer la valeur de la quatrième proportionnelle de chacun des tableaux de proportion- nalité suivants :
Exercice 7.3 Déterminer sans calculatrice la quatrième proportionnelle manquante à l’aide du produit en croix pour chaque tableau suivant :
Exercice 7.4 Le 30 juillet 2013, un euro valait 1,3256 dollars.
a Un ordinateur coûte 450 dollars. Quel est son prix en euro ? (On arrondira à la valeur approchée au centième).
b Un touriste se rend aux Etats-Unis avec la somme de 2000 euros.
Après avoir changé son argent en dollar, quel sera le montant des dollars obtenus ? Exercice 7.5 Sur un troupeau de 72 moutons, 18 moutons présentent les signes d’une maladie.
Quel pourcentage du troupeau est touché par cette maladie ?
Exercice 7.6 Un automobiliste doit effectuer le trajet Paris-Marseille. Ces deux villes sont séparées de 663 km ?
En prenant l’autoroute, il estime la consommation de son véhicule à 9,5 litres d’essence pour 100 km.
Quel sera la consommation de sa voiture pour ce trajet ?
Sachant qu’un litre d’essence coûte 1,70 euros, combien le conducteur va-t-il payer pour son trajet ?
Exercice 7.7 Un professeur de maths corrige 4 copies en 22 minutes. Combien de temps, en gardant cette allure, lui faudra-t-il pour corriger une classe de 26 élèves ?
Exercice 7.8 Donner le pourcentage associé à chacun des coefficients de proportionnalité ci-dessous : a 12
b 14
c 15
d 101.
Exercice 7.9 Ci-dessous sont données une somme et une partie de cette somme.
Quelle situation représente la plus grande part en pourcentage relativement à la somme de référence ? a 6 euros de 60 euros
b 6 euros de 15 euros
c 11 euros de 44 euros d 42 euros de 120 euros
Exercice 7.10 Donner le coefficient de proportionnalité associé à chacun des pourcentages ci-dessous sous la forme d’une fraction simplifiée :
a 75%
b 12%
c 30%
d 5%
Exercice 7.11 Un magasin propose des soldes de 20% sur tous ses articles. Un pull coûtait 45 euros.
Quel est désormais son nouveau prix ?
Exercice 7.12 Dans une classe de 24 élèves, 6 élèves pratiquent régulièrement le football. Quel est le pour- centage d’élèves dans cette classe pratiquant ce sport ?
8 Réciproque du théorème de Pythagore
Exercice 8.1 L’objectif de cet exercice est de démontrer la réciproque du théorème de Pythagore.
SoitABC un triangle tel que AB2=AC2+BC2.
a Tracer la perpendiculaire à (BC) passant par C. Y placer le point Dtel queAC =CD.
b Que dire du triangleCBD?
c A l’aide du théorème de Pythagore, montrer queBD=AB.
d En déduire queB etC sont sur la médiatrice de [AD].
e En déduire que les trianglesABC etDBC sont symétriques l’un de l’autre par rapport à (BC).
f En déduire que le triangleABC est rectangle.
Exercice 8.2 On considère le triangle DEF représenté ci-dessous et ayant pour mesures DE = 8,7 cm ; EF = 6,3 cm ; DF = 6 cm.
Démontrer que le triangle DEF est un triangle rectangle dont on précisera le sommet de l’angle droit.
Exercice 8.3 On considère le triangle DEF représenté ci-dessous et ayant pour mesures DE = 7,5 cm ; EF = 6 cm ; DF = 4,5 cm.
Démontrer que le triangle DEF est un triangle rectangle dont on précisera le sommet de l’angle droit.
Exercice 8.4 On considère le triangle BCDet sa hauteur [AC].
a Déterminer la longueur du segment [BC].
b Le triangleBCDest-il rectangle en C?
Exercice 8.5 On considère la figure ci-dessous où les points A, B, C sont alignés et les triangles ABE et EBDsont respectivement rectangles en A etB.
a Démontrer que le segment [BD] a pour longueur 4 cm.
b Justifier que le triangle BCDn’est pas un triangle rectangle.
Exercice 8.6 Dans la forêt tropicale, une famille d’autochtones construit une hutte dont un schéma est donné ci-dessous.
a Justifier que le triangle ABC est un triangle rectangle.
b Déterminer l’aire de la façadeABC de cette hutte.
c En déduire la mesure de la hauteur [BH] de la hutte.
d Déterminer la mesure du segment [HC].
9 Calcul littéral I
Exercice 9.1 A l’aide de la distributivité, donner la valeur des calculs suivants :
a 11×15 b 21×33 c 31×16
Exercice 9.2 A l’aide de la distributivité, donner la valeur des calculs suivants :
a 101×347 b 98×240 c 9×37
Exercice 9.3 Evaluer les expressions littérales suivantes en prenant x= 2 :
a 3x+ 2 b 2×(3x−1) c 2x+8x+1
Exercice 9.4 Evaluer les expressions littérales suivantes pourx=−1 :
a x2+ 1 b 2x2+ 2x c (x+ 2)2
Exercice 9.5 Réduire les expressions suivantes :
a 3x+x b 4x+x+x c 1 + 2x×x+ 3
Exercice 9.6 Réduire les expressions suivantes :
a −2x+ 5−4x+ 3 b −5x+ 4x+ 3 c x2+x+ 3x+ 5x2+ 1 Exercice 9.7 Développer puis réduire les expressions suivantes :
a 3×(2x+ 4) b (3−2x)x c x(3 +x) d 3(2x+ 1) e x+(2x−1)×2 Exercice 9.8 Développer et réduire les expressions suivantes :
a 7×(2x+ 5) + 4 b 3×(3 +x) + 2x+ 12 c 2(3 +x) + 4(2 +x) Exercice 9.9 Factoriser les expressions suivantes :
a 5x−15 b 3x+ 12 c 4x+ 2
Exercice 9.10 Factoriser les expressions suivantes :
a 12x+ 15 b 3x+ 6 c 2x+ 8
Exercice 9.11 Factoriser les expressions suivantes :
a 5x2−x b 6x2+ 3x c 8x+ 16x2
10 Statistiques II
Exercice 10.1 Le tableau ci-dessous représente l’investissement de l’Etat français dans l’éducation du second degré.
Année 1980 1990 2000 2006
Investissement (en milliard d’euros) 12,8 30,7 47,9 53,1 Déterminer quel a été l’investissement moyen depuis 1980.
Exercice 10.2 On a mesuré la taille de jeunes basketteurs. Les tailles (en cm) sont les suivantes : 165; 175; 187; 165; 170; 181; 174; 184; 171; 166; 178; 177; 176; 174; 176.
a Déterminer la taille moyenne de cette série statistique.
b Combien de basketteurs ont une taille inférieure à la moyenne ?
Exercice 10.3 Un élève de Terminale S option mathématiques a obtenu les notes suivants au baccalauréat : Matière Français Maths Phys. Chim. SVT Hist. géo. LV1 EPS
Note 7 15 12 8 8 9 12
Coeff. 4 9 6 6 3 3 2
Cet élève a-t-il eu la moyenne à cet examen ?Le résultat sera arrondi au centième près.
Exercice 10.4 Une station de ski a vendu 2182 forfaits journaliers au cours de l’année. Les forfaits peuvent être de trois types :
— Forfait A : il ne donne accès qu’aux pistes vertes, il coûte 7 euros par jours.
— Forfait B : il donne accès à toutes les pistes, il coûte 12 euros.
— Forfait C : il permet de relier les stations voisines, il coûte 15 euros.
On donne le diagramme suivant, qui représente la vente de ces différents forfaits :
a Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en détaillant les calculs. On arrondira les effectifs à l’unité.
Forfait A B C Angle
Effectif
b Déterminer le prix moyen d’un forfait acheté au cours de cette semaine, arrondi au centime d’euro près.
