Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et Chapitre n°9 : « Nombres relatifs : addition et
soustraction»
soustraction»
I. Addition de nombres relatifs
1/ Rappels
• L'ensemble des nombres relatifs est constitué des nombres positifs et des nombres négatifs.
• Comparer deux nombres, c'est chercher à savoir lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou bien montrer qu'ils sont égaux. Par exemple : –7,01–7,1.
• Ranger par ordre croissant, c'est classer des nombres du plus petit au plus grand ; par ordre décroissant, c'est du plus grand au plus petit.
• On rappelle qu'un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif, et que l'ordre est « inversé » lorsqu'on a deux nombres négatifs : si 57 alors –5–7. Quelques exemples de comparaison
• On rappelle qu'un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.
• –7–5 car l'ordre est inversé dans les négatifs.
• –89 ; –5,1–5,01 ; –10 ; 18,012–18,012
2/ Activité
Activité 1 page 98
• Partie A
1/ Les gains sont exprimés par des nombres positifs, les pertes par des nombres négatifs.
Roulette Machines à sous
1 80 12
2 –45 –75
3 23 –23
4 –39 64
5 13 –81
2/ a/ Il a gagné 92 euros (le premier jour) : 8012=92 b/ Il a perdu 120 euros : –45–75=–120
c/ Il n'a ni gagné, ni perdu ; il lui reste 0 euro : 23–23=0
d/ Le 4ème jour, il gagne plus qu'il ne perd, on obtient donc un résultat positif :
–3964=25
Le 5ème jour, il perd plus qu'il ne gagne, on obtient donc un résultat négatif :
13–81=–68 3/ Pas faite..
• Partie B
58=13
–3,59,5=6
–75–25=–100
100–250=–150
3/ Méthodes de calculs
Lorsque les deux nombres sont du même signe
• –17–11=–28
On a ajouté 17 avec 11, cela donne 28 ; le résultat est du même signe que –17 et –11.
• 4,57,5=12
On a ajouté 4,5 avec 7,5 , cela donne 12 ; le résultat est du même signe que 4,5 et 7,5 .
Lorsque les deux nombres sont de signes contraires
• –3,59,5=6
Le résultat est positif car 9,5 est le « plus fort » des deux nombres ; puis on effectue une différence pour calculer le résultat.
• –95=–4
Le résultat est négatif car –9 est le « plus fort » ; on effectue ensuite une différence.
Avec des décimaux (exemples) A=2,10,8=2,9 B=–1,51–0,14=–1,65 C=0,3–1=–0,7 D=–1,171,17=0 E–1,1–0,4=–1,5 F=2,15–1,37=0,78 G=–2,30,5=–1,8
H=18,54–36,76=–18,22 I=2,8–2,8=0
J=34,2–15,7=18,5 K=–5,734,2=28,5
4/ Lorsqu'il y a plus de deux termes
A=–27–51–11
Il y a deux méthodes :
• 1 ère méthode : « on calcule de gauche à droite progressivement » A=–27–51–11
A=5–51–11
A=01–11
A=1–11
A=–10
• 2 ème méthode : « on calcule les positifs entre eux et les négatifs entre eux » A=–27–51–11
A=71–2–5–11 (étape qui n'est pas obligatoire) A=8–18
A=–10
Autres exemples Calcule :
B=–511–7–1531100
B=142–27
B=115
C=1,2–5,53,6–7,7
C=4,8–13,2
C=–8,4
5/ Distance à zéro ; nombres opposés
Définition (explication)
• La distance à zéro de 4 correspond à la longueur BO où B4 et O est l'origine de l'axe : c'est 4.
Définition (explication)
• 4 et –4 sont deux nombres opposés : ils correspondent aux abscisses des points A et B qui sont symétriques par rapport à l'origine.
II. Soustraction de nombres relatifs
1/ Activité
L'ascenseur....
• Je pars du 4ème sous-sol, je monte jusqu'au 6ème étage ; je suis donc monté de 10 étages. Cela se traduit par l'égalité suivante : 6––4=10
• De même pour les soustractions suivantes :
3––5=8
–2–4=–6
–5––3=–2
• On remarque que cela revient à faire des additions de nombres relatifs. En effet :
3––5=35=8
–2–4=–2–4=–6
2/ Méthodes de calcul
Lorsqu'on soustrait deux nombres relatifs, on remarque que cela revient à faire une addition.
Par exemple : faire 5–7 revient à additionner 5 et –7 ; on prend l'opposé du deuxième terme.
Donc : 5–7=5–7=–2 . On peut toujours vérifier ce résultat grâce à la méthode de « l'ascenseur » : je pars du 7ème étage, je descends au 5ème étage ; je suis descendu de deux étages, cela correspond à –2 .
Propriété
Pour soustraire deux nombres relatifs, il suffit d'ajouter le premier à l'opposé du deuxième. On dit aussi que « soustraire par un nombre revient à ajouter son opposé ».
Exemples
–8––13=–813=5
–11–8=–11–8=–19
–5––8=–58=3
5––11=511=16
–9–3=–9–3=–12
3/ Avec plus de deux termes
Un exemple
A=3––52–8
A=352–8
A=10–8
A=2
Méthode sur un exemple
• X=–524––3–7 « On repère les soustractions »
• X=–5243–7 « Je transforme les soustractions en additions mais je prends l'opposé du terme qui suit »
• X=–129 « Je calcule les termes de même signe »
• X=−3 « Je calcule le résultat final ».
Autres exemples
B=–4,5––11,2–3
B=–4,511,2–3
B=–7,511,2
B=3,7
C=375–160––5,87
C=375–1605,87
C=380,87–160
C=220,87
III. Simplifications d'écritures
Exemples
A=–37–8–5
A=–37 –8 –5
On a supprimé les parenthèses et les signes d'addition. De même : B=6–8–211,5–88
B=6–8–211,5–88
Inversement, il faut comprendre que l'expression C=–584–7–9 est une succession d'additions ; les nombres additionnés sont –5, 8, 4, –7 et –9.
Calculons :
C=–584 –7 –9
C=–5 –7 –984 (on regroupe les nombres négatifs) C=–21 12
C=–9
Règles de simplifications
• Dans une somme de nombres relatifs, on peut supprimer les parenthèses et les signes d'addition : 8–5=8 –5=3
• Un signe en début de ligne peut être supprimé : 8 –5=8–5=3
D'autres exemples
D=–74 –8 –32,5
On doit comprendre D=–74–8–32,5
D=6,5 –18 D=–11,5
E=3,5–87,52–4,5–1 E=13 –13,5
E=–0,5
IV. Remplacer dans une expression littérale
On considère l'expression littérale suivante :
A=x – yz où x, y et z représentent trois nombres.
• Calcule A pour x=–5,2 ; y=6 et z=–4,1 Il faut penser A ainsi : –
En remplaçant, on obtient donc : A=–5,2–6–4,1
A=–5,2–6–4,1
A=–15,3
• Calcule A pour x=2,8 ; y=–3,2 et z=–5 A=2,8––3,2–5
A=2,83,2–5
A=6–5
A=1
x y z
