Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 9 (07/12 – 11/12)
Chapitre 8 : Continuité, dérivation et études de fonctions
Ce chapitre est à vocation essentiellement technique et calculatoire. Les élèves doivent maîtriser les différentes tech- niques de dérivation, avec assurance et efficacité, et savoir mener une démarche complète d’étude de fonction. Le cadre d’étude est celui des fonctions d’un sous-ensemble deRà valeurs dansR, ou éventuellementC.
1. Limites et continuité
Le but de ce paragraphe est d’introduire les notions concernant les limites nécessaires pour une bonne définition des dérivées. Certains points seront admis provisoirement et démontrés plus tard.
‚ Limites : point de vue métrique ;
˚ Limite finie ou infinie en un point fini ou infini.
˚ Équivalence des énoncés écrits avec un ordre large ou un ordre strict.
˚ Cas d’une limite en un point du domaine.
‚ Point de vue topologique (par voisinages).
˚ Démonstration de l’équivalence entre les 2 points de vue.
˚ Limite finie implique bornée localement.
˚ Comparaison des limites de deux fonctions coïncidant au voisinage dea.
‚ Unicité de la limite
‚ Limite sur un sous-domaine
˚ Définition générale. Cas des limites à droite et à gauche
˚ Caractérisation de la limite par les limites sur des sous-domaines en nombre fini recouvrant le domaine (Démonstration non exigible)
˚ Cas particulier : caractérisation de la limite par les limites à gauche et à droite.
‚ Propriétés des limites
˚ Pour arriver plus vite au coeur du chapitre, les règles opératoires usuelles sont ADMISES à ce stade à part :
˚ Composition des limites (démonstration à connaître)
˚ Conservation des inégalités (ADMIS à ce stade)
˚ Théorème d’encadrement (ADMIS à ce stade)
‚ Limites de fonctions à valeurs dansC
˚ Caractérisation par les limites des parties réelles et imaginaires.
˚ Cas des fonctions à valeurs dans Rn (muni de la norme euclidienne canonique). Caractérisation de la limite par les coordonnées (démonstration non exigible, cela a juste été évoqué rapidement).
‚ Continuité
˚ Diverses formulations équivalentes
˚ Cas de fonctions coïncidant au voisinage dea.
2. Dérivation
La vocation de ce paragraphe est d’introduire les techniques calculatoires. Les propriétés des fonctions dérivables sur un intervalle seront étudiées dans un chapitre ultérieur.
‚ Dérivation et tangente
˚ Dérivabilité et dérivée en un point. Équation de la tangente
˚ Dérivée à droite, dérivée à gauche. Caractérisation de la dérivabilité par la dérivabilité à droite et à gauche.
˚ Fonctions de classe Cn, de classeC8, de classeDn, de classe. Chaîne d’inclusion.
‚ Règles de dérivation d’ordre 1
˚ Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient, d’une composition
˚ Dérivée d’un produit de nfonctions, d’une composée denfonctions.
˚ Dérivée d’une réciproque.
Les démonstrations sont à connaître
‚ Règles de dérivation d’ordre supérieur
˚ ClasseDn(respCn) de combinaisons linéaires, produits, quotients, compositions, réciproques de fonctions de classeDn (respCn)
˚ Dérivéesn-ièmes de CL, de produits (formule de Leibniz), dérivéen-ième dexÞÑfpax`bq.
˚ NB : la formule de Faà di Bruno n’est pas au programme. Les élèves ne sont pas autorisés à l’utiliser.
˚ Théorème de la classe Cn par prolongement (le cas n “1 est admis pour le moment, on a démontré l’hérédité).
3. Étude d’une fonction
‚ Graphe
˚ Graphe d’une fonction de la variable réelle à valeurs dansR. Résolution graphique approchée d’équations et d’inéquations.
˚ Effet sur le graphe de certains opérations simples (multiplication ou somme par une constante sur la variable ou sur le résultat)
˚ Graphe d’une réciproque
‚ Symétries
˚ Fonctions paires, impaires, périodiques ; interprétation sur le graphe
˚ Période minimale. Exemple de fonctions périodiques n’ayant pas de période minimale.
˚ Densité de l’ensemble des périodes de fonctions périodiques sans période minimale. Le lien avec les sous-groupes de Ra été évoqué, mais à ce stade les élèves n’ont qu’une idée très vague de ce qu’est un groupe.
‚ Monotonie.
˚ Croissance, décroissance
˚ Composées de fonctions monotones
˚ monotonie de la réciproque d’une bijection monotone
˚ injectivité d’une fonction strictement monotone.
˚ Théorème de la limite monotone pour les fonctions : les fonctions monotones sont réglées.
‚ Variation des fonctions
˚ caractérisation des variations par la dérivée (admis)
˚ Point critique
˚ CN d’extremum.
‚ Asymptotes verticales, horizontales, obliques.
‚ Convexité (abordé d’un point de vue intuitif uniquement, par la croissance de la pente des tangentes, c’est- à-dire def1). Les propriétés de positionnement des cordes et des tangentes ont été admises, mais peuvent être utilisées pour justifier rapidement des inégalités.
La notion de convexité et les inégalités en découlant sont à utiliser ici uniquement dans le cadre de l’étude de fonctions.
‚ Les élèves doivent savoir mener à bien une étude aussi détaillée que possible d’une fonction, incluant la recherche des asymptotes, de la convexité, et des tangentes aux points particuliers.
4. Propriété des fonctions continues ou dérivables sur un intervalle Les théorèmes de cette section sont provisoirement admis.
On évitera les exercices basés exclusivement sur l’utilisation de ces théorèmes ; le but de la section est juste d’introduire ces résultats pour s’autoriser à les utiliser dès maintenant, par commodité, lorsque le besoin s’en fait sentir.
‚ Théorème des valeurs intermédiaires (admis)
‚ Théorème de compacité (ou de la borne atteinte) (admis)
‚ Théorème de la bijection (admis)
‚ Théorème de Rolle (admis)
‚ Théorème des accroissements finis (admis)
‚ Définition de la continuité uniforme
‚ Théorème de Heine (admis)
5. Dérivation d’une fonction de la variable réelle, à valeurs dansC
‚ Caractérisation de la dérivabilité par les parties réelles et imaginaires.
‚ Règles de calcul de dérivées (CL, produit, quotient). Vu la similarité avec le cas réel, la démonstration n’a pas été refaite
‚ Dérivée detÞÑeϕptq.
Chapitre 9 : Fonctions usuelles
NB :
‚ Nous n’avons pas abordés les exercices spécifiques à ce chapitre. Cependantvous pouvez utiliser les fonc- tions usuelles qui y sont présentées (à part les fonctions hyperboliques) dans le cadre d’exercices de dérivation ou d’études de fonction, entrant dans le contexte du chapitre précédent.
‚ Certaines limites remarquables ont été traduites en terme d’équivalents. Cependant, aucune maîtrise des calculs d’équivalents n’est exigible à ce stade. Les équivalents et autres notions asymptotiques feront l’objet d’un chapitre ultérieur
1. Logarithme, exponentielle, puissances
‚ Fonctionln, dérivées successives, concavité, inégalitélnp1`xq ďx, équivalent classique,lnpabq “lnpaq`lnpbq.
‚ Fonctionexp, dérivées successives, convexité, inégalité exge1`x, équivalent classique,ea`b “eaeb.
‚ Fonctions puissancesxa, règles d’exponentiation (xaxb,pxyqa,pxaqb,xn1 “ ?nx...)
‚ Théorèmes de croissances comparées en`8et 0.
‚ Logarithme en baseb, expression en fonction deln. Dérivée.
2. Fonctions trigonométriques circulaires
‚ Sinus, dérivées successives, propriétés de convexité, inégalités classiques sinpxq ď x, sinpxq ě 2xπ sur des intervalles adéquats. Équivalent classique.
‚ Cosinus, dérivées successives, propriétés de convexité, équivalent classique.
‚ Tangente, dérivée, propriétés de convexité, équivalent en0. Inégalités classiques.
‚ Révision de toutes les formules de trigonométrie.
3. Réciproques des fonctions trigonométriques circulaires Les courbes sont à bien mémoriser.
‚ Arctan, dérivée, valeurs particulières et limites, propriétés de convexités, inégalités classiques, équivalent en 0. Compositions detanetArctan. Utilisation pour des calculs de primitives.
‚ Arcsin: même topo
‚ Arccos: même topo
Juste le cours pour le paragraphe suivant : 4. Fonctions hyperboliques
‚ sh, ch, th. Propriétés (dérivées successives de sh et ch, dérivée de th, convexité, limites, équivalents clas- siques). Identitéch2´sh2“1.
‚ Les formules de trigonométrie hyperbolique ne sont pas au programme. Il faut savoir qu’elles existent et ressemblent beaucoup aux formules similaires pour les fonctions trigonométriques, afin de pouvoir les redémontrer en cas de besoin. Nous avons traité l’exemple deshpa`bqen nous appuyant sur la décomposition en partie paire et impaire de l’exponentielle.
‚ (HP) Un mot surArgsh,Argchet Argth.
