Fonctions numériques : dérivation
Table des matières
I Notion de tangente à une courbe. . . 1
II Nombre dérivé def enaet fonction dérivée : . . . 2
III Tableau des dérivées usuelles : . . . 4
IV Dérivées et opérations : . . . 5
V Dérivée de la composée de quelques fonctions : . . . 5
V.1 Dérivée dex7→p u(x) . . . 5
V.2 Dérivée dex7→un(x),n∈N∗ . . . 6
V.3 Dérivée de la fonctionx7→f(ax+b) . . . 7
V.4 Dérivée de sinuet cosu . . . 7
V.5 Dérivée de f ◦g . . . 7
VI Application de la dérivabilité : . . . 7
VI.1 Utilisation du nombre dérivé pour le calcul de certaines limites : . . . 7
VI.2 Sens de variation d’une fonction : . . . 8
VII Rappels sur les fonctions cosinus et sinus : . . . 9
VII.1 Radian . . . 9
VII.2 Cosinus et sinus d’un anglex . . . 10
VII.3 Dérivée de cos(u) et de sin(u). . . 11
VII.4 Cercle trigonométrique . . . 12
I Notion de tangente à une courbe
Soitf une fonction définie sur un intervalleI de courbe représentativeCf et soitAun point fixe deCf. SoitMun point variable deCf. On trace la droite (AM) qui est sécante àCf. On fait tendreM versA. Si, lorsque M tend versA, la sécante admet une position limite, on dit que cette limite est tangente àCf.
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
bA bM
Cf
1
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
1 2 3 4
−1
−2
−3
bAb
M
Cf
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
bbM=A
Cf
II Nombre dérivé de f en a et fonction dérivée : Définition
Notonsal’abscisse deAetxl’abscisse deM. Le coefficient directeur de la sécante (AM) est : f(x)−f(a) x−a . Dire que la sécante a une position limite qui est la droite tangente àCfen Asignifie que lim
x→a
f(x)−f(a) x−a existe.
Si ce nombreexisteet s’il estfini, on pose :f′(a)=lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a et ce nombre est lenombre dérivéde f en a.
On dit alors que f est dérivable ena.
Remarque :
En posantx=a+h, on obtient :f′(a)=lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h .
Exemple :f(x)=x2.
Pour touta∈R: f(a+h)−f(a)
h =[a+h]2−a2
h = a2+2ah+h2−a2
h =2ah+h2
h =2a+h.
Par conséquent : lim
h→0
µf(a+h)−f(a) h
¶
=2a.
f est dérivable enaet f′(a)=2a
Par définition, f′(a) estle coefficient directeur de la tangenteàCf ena.
Propriété
L’équation de la tangente est alors :y=f′(a)(x−a)+f(a).
Démonstration :
Rappel : la droite, de coefficient directeuraet passant par le pointM0de coordonnées¡
x0; y0¢
a pour équation y−y0=a(x−x0).
En effet, l’équation est de la formey=ax+b.
CommeM0appartient à cette droite, ses coordonnées vérifient cette équation, doncy0=ax0+b.
Par conséquent :
½ y = ax+b y0 = ax0+b .
Par soustraction, on obtient :y−y0=a(x−x0).
Pour la tangente, on obtient donc :y−yA=f′(a)(x−xA) qui donney=f′(a)(x−xA)+f(a).
Définition
f est dérivable sur un intervalle ouvertI sif est dérivable en toutadeI.
Remarque
La dérivée f′de f est elle-même une fonction. Si elle est dérivable, on appelle f′′sa dérivée (dérivée se- conde de f).
Cette dérivée seconde peut elle-même être dérivable et ainsi de suite. Les dérivées d’ordren, avecnÊ3, se notentf(n).
Ainsi :f′′=¡ f′¢′
; f(3)=¡ f′′¢′
et plus généralementf(n+1)=¡ f(n)¢′
Exemples :
1. Soitf(x)=3x4+5x2+2x+1.
On a : f′(x)=12x3+10x+2 ; f′′(x)=36x2+10 ; f(3)(x)=72x : f(4)(x)=72 ; f(5)(x)=0 et les dérivées suivantes sont toutes égales à la fonction nulle.
2. Soitf(x)=sinx.
Alors : f′(x)=cosx; f′′(x)= −sinx; f(3)(x)= −cosx; f(4)(x)=sinx= f(x). On retombe sur la fonction initiale.
3. Imaginons qu’il existe une fonction f définie et dérivable surRtelle que, f′(x)=f(x). f est-elle dérivable à l’ordre 3 si oui, que vautf(3)?
Réponse :f′=f doncf′est dérivable et f′′=(f′)′=f′et de même f(3)=f.
On pourrait alors montrer par récurrence, que la fonctionf vérifie alors : pour toutn, f(n)=f. On étudiera cette fonction plus en détail dans un prochain chapitre.
Exercices
• Montrer que la fonctionx7→ |x|n’est pas dérivable en 0.
• Étudier la dérivabilité de la fonctionx7→x|x|en 0.
Solutions :
• Soitf la fonctionx7→ |x|.
∀x6=0, f(x)−f(0)
x−0 =|x| −0 x−0 =|x|
x . Six<0,|x|
x =−x
x = −1 et pourx>0, |x| x =x
x=1.
On en déduit que : lim
x→0 x<0
f(x)−f(0) x−0 =lim
x→0 x<0
(−1)= −1, alors que lim
x→0 x>0
f(x)−f(0) x−0 =lim
x→0 x>0
(1)=1.
La limite à gauche et à droite n’est pas la même, donc la limite en 0 n’existe pas ; f n’est pas dérivable en 0 (mais l’est à gauche et à droite) ; on dit que la courbe admet une demi-tangente à gauche et une demi-tangente à droite.
• Soitg :x7→x|x|. Cette fois, on a : lim
x→0
g(x)−g(0) x−0 =lim
x→0
x|x| x =lim
x→0(|x|)=0 ; la limite existe, donc la fonctiong est dérivable en 0 et la courbe représentative deg a une tangente en 0.
Voici les deux représentations graphiques de f et deg.
1 2
−1
1 2
−1
−2
−3
1 2
−1
1 2
−1
−2
−3
III Tableau des dérivées usuelles :
Fonctionfdéfinie par : Fonctionf′définie par : Domaine de décidabilité de validité
f(x)=k∈R f′(x)=0 R
f(x)=xn(n∈N∗) f′(x)=nxn−1 R f(x)=1
x f′(x)= −1
x2 R∗
f(x)= 1
xn =x−n(n∈N, nÊ2) f′(x)= − n
xn+1 = −nx−n−1 R∗ f(x)=p
x f′(x)= 1
2p
x ]0 ;+∞[
f(x)=cosx f′(x)= −sinx R
f(x)=sinx f′(x)=cosx R
IV Dérivées et opérations :
Soientu,vdeux fonctions dérivables sur un intervalleI etkun réel.
• (ku)′=ku′
• (u+v)′=u′+v′
• (uv)′=u′v+uv′
• µ1
u
¶′
= −u′
u2,u(x)6=0
•
³u v
´′
=u′v−uv′
v2 ,v(x)6=0 Exemples :
Théorème (admis)
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvertIet dérivable ena∈I; alors,f est continue ena
Attention, la réciproque est fausse ; une fonction peut être continie ena, mais pas dérivable ; exemple, la fonction x7→ |x|en 0.
V Dérivée de la composée de quelques fonctions :
V.1 Dérivée dex7→p u(x)
Propriété
Soituune fonction définie, positive et dérivable sur un intervalle I., de fonction dérivéeu′. La fonction f définie sur I parf :x7→p
u(x) est dérivable en tout nombrextel queu(x)6=0 et f′(x)= u′(x)
2p u(x). Démonstration :
Démonstration :
Soitx∈Itel queu(x)>0. Soit J un intervalle de I contenant I.
Soithun réel non nul, tel quex+h∈J.
SoitA(h)=
pu(x+h)−u(x)
h et on étudie la limite quandhtend vers 0.
A(h)=
£pu(x+h)−p u(x)¤
×£p
u(x+h)+p u(x)¤
£pu(x+h)+p
u(x)¤ = u(x+h)−u(x) h£p
u(x+h)+p
u(x)¤(avecp
u(x+h)+p
u(x)>0).
Or, lim
h→0
µu(x+h)−u(x) h
¶
=u′(x) ; lim
h→0u(x+h)=u(x) par continuité deudonc lim
h→0
hpu(x+h)+p u(x)i
=2p x.
On en déduit que lim
h→0A(h)= u′(x) 2p
u(x)cqfd.
Exemple :f(x)=p
3x2+5x+7 définie surR. f(x)=p
u(x) avecu(x)=3x2+5x+7 etu′(x)=6x+5.
Alors : f′(x)= 6x+5 2p
3x2+5x+7 .
V.2 Dérivée dex7→un(x),n∈N∗
Propriété
Soitu une fonction définie et dérivable sur un intervalleI. Soitu′sa fonction dérivée. et soitn un entier relatif non nul.
La fonctionunest dérivable et¡ un¢′
=nu′×un−1.
DémonstrationSoitA(h)=un(x+h)−un(x)
h . On doit étudier la limite deA(h) quadhtend vers 0.
On a vu en première que la fonctionf :x7→xnest dérivable et que f′(x)=nxn−1. Cela signifie que lim
h→0
(x+h)n−xn
h =nxn−1. En changeant de lettre, on a : lim
k→0
(z+k)n−zn
k =nzn−1 Posonsε(k)=(z+k)n−zn
k −nzn−1. On a lim
x→0ε(k)=0. On obtient, après transformation :
(z+k)n−zn
k =nzn−1+ε(k) donc (z+k)n−zn=¡
nzn−1+ε(k)¢
×k On pose alorsu(x)=zetu(x+h)=z+k.
un(x+h)−un(x)=(z+k)n−zn=¡
nzn−1+ε(k)¢
×k=¡
nun−1(x)+ε(u(x+h)−u(x))¢
×(u(x+h)−u(x)).
On en déduit : un(x+h)−un(x)
h =¡
nun−1(x)+ε(u(x+h)−u(x))¢
×u(x+h)−u(x) h On a : lim
h→0
µu(x+h)−u(x) h
¶
=u′(x) car la fonctionuest dérivable.
La fonctionuest continue, donc lim
h→0u(x+h)=u(x) donc lim
h→0[u(x+h)−u(x)]=0.
Alors : lim
h→0
ε(u(x+h)−u(x))=lim
k→0
ε(k)=0 en posantk=u(x+h)−u(x).
Par conséquent : lim
h→0
¡nun−1(x)+ε(u(x+h)−u(x))¢
=nun−1(x).
Alors : lim
h→0
µun(x+h)−un(x) h
¶
=nun−1(x)×u′(x). Exemples :
1. Soitf :x7→¡
3x2+5x−7¢5
; f =u5avecu(x)=¡
3x2+5x−7¢5
. On a alorsf′=¡
u7¢′
=7u′u7−1=7u′u6 avecu′(x)=6x+5.
Par conséquent : f′(x)=7(6x+5)¡
3x2+5x−7¢6
. 2. Soitf :x7→ 1
¡x2+x+1¢5 surR.
On af(x)=¡
x2+x+1¢−5
donc f =u−5avec
½ n= −5
u(x)=x2+x+1 . f′=nu′un−1= −5u′u−6= −5u′
u6 avecu′(x)=2x+1.
Par conséquent :f′(x)= − 5(2x+1)
¡x2+x+1¢6
V.3 Dérivée de la fonctionx7→ f(ax+b)
Propriété
Soientf une fonction définie surRet deux nombresaetb.
La fonctiong :x7→ f(ax+b) est dérivable surRet a pour dérivéeg′x7→a×f′(ax+b).
Démonstration g(x+h)−g(x)
h = f(a(x+h)+b)−f(ax+b)
h = f(ax+b+ah)−f(x)
h =a× f(ax+b+ah)−f(x)
ah .
Or : lim
h→0
µf(ax+b+ah)−f(x) ah
¶
=lim
k→0
f(ax+b+k)−f(ax+b)
k =f′(ax+b).
On en déduit : lim
h→0
g(x+h)−g(x)
h = a×f′(ax+b).
Exemple : Soitf :x7→cos(2x+3) ;f′(x)=2 cos′(2x+3)= −2 sin(2x+3). V.4 Dérivée desinuetcosu
Propriété admise : siuest dérivable, sinuest dérivable et cosuest dérivable.
• (sinu)′=u′×sin′u=u′cosu
• (cosu)′=u′×cos′u= −u′sinu Exemple : soitf(x)=sin¡
x2¢ . f =sinuavecu(x)=x2.
f′=u′cosuavecu′(x)2xdonc f′(x)=2xcos¡ x2¢ V.5 Dérivée def ◦g
Théorème admis
Soitg une fonction définie et dérivable sur un intervalleI et à valeurs dans J et f une fonction définie et dérivable surJ.
Alors f ◦g est dérivable et¡ f ◦g¢′
=g′ס f′◦g¢
. Pour toutx∈I,¡
f ◦g¢′
(x)=g′(x)×f′(g(x)).
VI Application de la dérivabilité :
VI.1 Utilisation du nombre dérivé pour le calcul de certaines limites : On sait que si f est dérivable ena, alors lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a =f′(a).
Exemple :sinx
x =sinx−sin0
x−0 donc lim
x→0
sinx x =lim
x→0
sinx−sin0
x−0 =sin′(0)=cos0=1.
VI.2 Sens de variation d’une fonction :
Théorème (admis
Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI. Si f′=0 surI, alors f est constante surI.
Si f′est strictement positive surI sauf éventuellement pour un certain nombre fini de valeurs o˘ elle s’an- nule, alorsf est croissante surI.
Si f′est strictement négative surIsauf éventuellement pour un certain nombre fini de valeurs o˘ elle s’an- nule, alorsf est décroissante surI.
Exemple :
Soitf la fonction définie par :f(x)=x3définie surR.
f′(x)=3x2≥0 etf′(x)=0 pourx=0.
On en déduit que la fonctionf est strictement croissante surR.
Exemple :
1. Étudier le sens de variation de la fonction f définie surRpar : f(x)=2 cosx−2+x2. 2. En déduire la comparaison des fonctionsx7→cosxetx7→1−x2
2 . Solution :
1. f est dérivable surRet f′(x)= −2 sinx+2x. Pour étudier le signe def′(x), dérivonsf′.f′′(x)= −2 cosx+2= 2(1−cosx)≥0.f′est croissante surRet commef′(0)=0, on en déduit le signe de f′.
On en déduit que f est décroissante sur ]− ∞;0[ et croissante sur [0 ; +∞[.
2. Le minimumf(0) vaut 0, donc :∀x∈R, cosx≥1−x2 2 .
VII Rappels sur les fonctions cosinus et sinus :
VII.1 Radian
Définition
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centreOet de rayon 1 unité.
Soit C un cercle trigonométrique, muni d’un repère orthonormal
³ O;−→
i ; −→ j ´
.
Soit A le point tel que→−
i =−−→O Aet D la droite tangente au cercleC passant parD.
Soit I le point de la droiteDtel que AI = 1 (I au-dessus de A).
On définit ainsi un repère surD.
On enroule la droiteDautour du cercleC, la demi-droite supérieure s’enroulant dans le sens inverse de rotation des aiguilles d’une montre, qu’on appelle aussisens directou senstrigonométrique.
SoitM un point quelconque deD; il vient se placer après enroule- ment enM′.
La longueur du segment [AM] surD est alors égale à longueur de l’arc de cercleAM′
Si AM =x, la longueur de l’arc de cercle AM′ mesure aussixunités et l’angle au centre correspondantAOMmesurexradians.
Définition
1 radian est donc la mesure de l’angle au centre d’un arc de cercle de longueur 1 unité.
Remarque: quand on fait un tour de cercle complet de longueur 2π (périmètre du cercle), l’angle au centre correspondant mesure donc 2πradians.
Par conséquent, on a la correspondance : 360˚= 2πradians.
Angle en ˚ 0˚ 30deg 45˚ 60˚ 90˚
Angle en radians 0 rad π
6 rad π
4 rad π
3 rad π
2 rad
O −→
i
−
→j −→ j
b A
b M
bM′ xx
C
I
Remarques :
• la droiteDétant illimitée, quand on l’enroule autour du cercle, elle décrit une infinité de tours de cercle.
• Tous les points deD espacés d’une longueur égale à 2πse retrouvent au même endroit sur le cercle trigono- métrique ; à un même point du cercle trigonométrique correspond donc une infinité d’angles, deux mesures consécutives différant de 2πradians.
VII.2 Cosinus et sinus d’un anglex
SoitM un point du cercle trigonométrique muni d’un repère orthonormal³ O; −→
i ;→− j ´
et soitxune mesure en radians de l’angleAOM.
Définition
On appelle cosinus dexet sinus dexles coordonnées du pointM dans le repère³ O; −→
i ;→− j
´. On note :M(cos(x) ; sin(x))
Remarques :
¿ chaque pointM du cercle correspondent plusieurs angles ; en effet, quand on enroule la droiteD autour du cercle C, des points viennent se superposer, espacés d’une longueur sur la droite de 2π; les angles diffèrent donc de 2π.
Sixest une mesure de l’angle en radians,x+2πaussi et plus généralementx+2kπ,k∈Z.
On écrit souvent cosxet sinxà la place de cos(x) et sin(x).
On a donc cos(x+2π)=cosxet sin(x+2π)=sinxpour toutxréel.
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques, de période 2π.
O
−
→i
−
→j
x
cos(x)
sin(x) M
O−→ i
−
→j
π 2
π 3π 2
2π
VII.3 Dérivée decos(u)et desin(u)
On a : (cos(u))′= −u′sin(u) et (sin(u))′=u′cos(u).
Exemples :
1. f(x)=cos(2x+3) ;f =cos(u) avecu(x)=2x+3.
f′= −u′sin(u) avecu′(x)=2 donc f′(x)= −2 sin(2x+3).
2. f(x)=sin¡ x2¢
; f =sin(u) avecu(x)=x2.
f′=u′cos(u) avecu′(x)=2xdonc f′(x)=2xcos¡ x2¢
.
VII.4 Cercle trigonométrique
π 0
1 2
p2 2
p3 2 1
2 p2 2 p3
2
π 6 π 4 π 3 π
2
