Dérivation et convexité
1. Compléments sur la dérivation
Rappel des définitions
Définition. Soit une fonction, un intervalle ouvert inclus dans son ensemble de définition et un réel appartenant à . Soit un réel non nul tel que .
Le taux d’accroissement de entre et est le rapport
pour . On dit que la fonction est dérivable en si tend vers un réel lorsque tend vers . Ce réel est appelé nombre dérivé de en et est noté :
Le nombre dérivé s’interprète graphiquement comme le coefficient directeur de la tan- gente à la courbe de au point d’abscisse .
L’équation de cette tangente est . Exemple
Soit la fonction définie sur par . Comme la fonction racine carrée est dérivable sur , cette fonction est dérivable sur et pour ,
Par exemple la tangente au point d’abscisse à la courbe a pour équation Pour , le taux d’accroissement entre et de est
, par conséquent
. Cela montre que est dé- rivable en et que .
Finalement est dérivable sur et pour tout . La courbe de admet au point d’abscisse une demi- tangente d’équation .
On retiendra donc que de cet exemple ce n’est pas parce que les formules générales ne s’appliquent pas que la fonction n’est pas dérivable.
Exemple
Soit la fonction définie sur par
. Si , on peut écrire
et la fonction est donc dérivable sur . En écrivant
on voit de même que est dérivable sur . Étudions le taux d’accroissement de entre et un réel non nul.
Comme , on a
. Clairement .
Le terme nécessite d’envisager deux cas : Si , alors et si , alors
, si bien que
et
.
Cela montre que n’est pas dérivable en . En revanche, elle est dérivable à gauche de (avec ) et à droite de (avec ). Graphiquement cela se traduit par la présence de deux demi-tangentes à la courbe de en l’origine du repère.
Cet exemple montre que la réciproque du théorème affirmant que si une fonction est déri- vable en un réel, elle y est continue, est fausse.
Dérivée d’une fonction composée
Théorème. Soit une fonction définie sur intervalle et un une fonction définie sur un intervalle telle que pour tout , on a .
La fonction est dérivable sur et Exemple
Soit . La fonction est définie si et seulement si . Construi- sons le tableau de signe de dont les racines sont et .
signe de
Ainsi est définie sur . Pour que soit dérivable en il suffit que , ainsi est dérivable sur et sa dérivée est
. On en déduit les variations de .
variations de
Calculons les limites. On a . Comme
et
, on en déduit par opérations sur les limites
. De plus
, donc par composition
.
Voici la courbe représentative de .
Remarque (hors programme). La courbe de possède deux asymptotes obliques, la droite d’équation en et la droite d’équation en .
Montrons par exemple le résultat en . On a
Il est clair que le dénominateur tend vers lorsque tend vers , ainsi on a montré
,
ce qui prouve que la droite d’équation est asymptote à la courbe de en .
Exemple
Soit une fonction dérivable sur , et la fonction la fonction définie par . Alors est dérivable sur et .
Exemple
Soit une fonction dérivable et croissante sur .
La fonction définie par est dérivable sur et pour tout , .
Vu que est croissante, on a , donc en particulier pour tout . Ainsi le signe de est celui de , ce qui montre que est négative sur et positive sur , puis que est décroissante sur et croissante sur . Corollaire. Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
1. .
2. Pour tout entier naturel non nul, . 3. Si ne s’annule par sur , alors . 4. Si est strictement positive sur , alors
. Exemple
Soit
. La fonction est définie sur . La dérivée de
est
, par conséquent
, on a donc prouvé que la fonction est croissante sur et sur .
2. Convexité
Définition et interprétation graphique
Théorème (caractérisation des segments de ). Soit un intervalle, avec . Un réel appartient à si et seulement s’il existe un réel tel que
Démonstration. Commençons par deux remarques.
Pour tous réels et , on a, puisque ,
D’autre part, pour tout réel , puisque , on a
On peut à présent effectuer la démonstration.
Soit tel que . Posons
. D’après ce qui précède , et on a bien
Réciproquement, soit un réel et supposons qu’il existe tel que
D’après la première remarque,
, et comme , c’est-à-dire
, la se- conde remarque implique que .
Définition. On dit qu’une fonction définie sur un intervalle est convexe si et seulement si pour tous réels , appartenant à et tout réel , on a
On dit qu’une fonction est concave si est convexe.
Cette définition a une interprétation graphique simple. Étant donné deux points et d’une courbe, le segment s’appelle une corde de cette courbe. Nous allons montrer le résultat suivant.
Théorème. La courbe représentative d’une fonction convexe est située sous ses cordes.
Démonstration. Considérons deux points et de la courbe de d’abscisse respective et , avec . L’équation de la droite est :
En effet, il s’agit bien de l’équation d’une droite (dont le coefficient directeur est
), pour , on obtient et pour on obtient . Cette droite passe par et , c’est donc la droite .
Considérons un réel appartenant à l’intervalle . D’après le théorème précédent, il existe tel que . Calculons l’ordonnée du point de d’abscisse :
.
Puisque est convexe, on a
ce qui prouve que la courbe de est au-dessous du segment sur Exemple
Démontrons que la fonction carré est convexe sur , c’est-à-dire pour tous réels , et , avec .
Pour cela, on factorise la différence
On a et comme , il vient , d’où soit encore
On voit donc que, même pour une fonction simple, il n’est pas facile de prouver sa con- vexité. Le prochain paragraphe donnera un critère extrêmement simple.
Remarque. On peut démontrer (c’est difficile) qu’une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue sur cet intervalle.
C’est faux sur un intervalle fermé comme le montre l’exemple de la fonction définie sur par
Convexité et dérivabilité
Théorème. Soit une fonction dérivable sur un intervalle . Les propositions suivantes sont équivalentes :
1. La fonction est convexe sur . 2. La fonction est croissante sur .
3. Pour tout réel et de , on a .
On rappelle que, si est une fonction dérivable en un réel , l’équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse est .
La condition 3 du théorème traduit donc que la courbe de est située au-dessus de sa tangente (ou de sa demi-tangente si est l’extrémité d’un intervalle).
Nous allons seulement montrer que 2. implique 3., le reste est compliqué.
Démonstration (2. implique 3.). Soit et la fonction définie sur par
La fonction est dérivable sur et . Comme est croissante, on a
On en déduit le tableau de variation de , en remarquant que
signe de
variation de
Cela montre que pour tout , , c’est-à-dire
Remarque. Une fonction convexe n’est pas nécessairement dérivable, comme le montre l’exemple de la fonction valeur absolue, qui est convexe, mais qui n’est pas dérivable en 0. En revanche une fonction convexe est dérivable à droite et à gauche de tout réel d’un intervalle ouvert (c’est difficile à prouver).
Si la fonction est dérivable, dire que est croissante revient à dire que sa dérivée, notée
et appelée « dérivée seconde de » est positive. D’où le résultat suivant.
Théorème. Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle . Alors est convexe si et seulement si est positive.
Ce théorème est très pratique pour étudier la convexité d’une fonction.
Exemple
La fonction carré est convexe sur car pour tout réel , on a puis
La fonction exponentielle est convexe sur car pour tout réel , .
La fonction cube est concave sur et convexe sur . En effet, sa déri- vée seconde est donnée par , qui est négative sur et positive sur .
Définition. Soit une fonction définie sur un intervalle . Le point d’abscisse de la courbe représentative de est appelé point d’inflexion si change de convexité en (elle passe de convexe à concave, ou de concave à convexe).
La courbe ci-dessous possède deux points d’inflexion : et . En ces points, on dit que la tangente traverse la courbe.
Exemple
La fonction cube est concave sur et convexe sur , donc le point d’abscisse 0 de la courbe de est un point d’inflexion.
Théorème. Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle . La courbe représenta- tive de admet un point d’inflexion d’abscisse si et seulement si s’annule en en chan- geant de signe.
