Rappels et compléments sur les fonctions :

Rappels et compléments sur les fonctions :

I Fonction et courbe représentative : II Variations et extrema :

III Opérations sur les fonctions : IV Composée de deux fonctions :

V Parité et périodicité : VI Fonctions de référence : VII Fonctions associées :

I Fonction et courbe représentative :

Définition :

Une fonction f définie sur une partie I de R est un procédé qui, à chaque nombre de I, associe un nombre réel unique, appelé image dexpar f et est notéf(x).

On appelle ensemble de définition d’une fonctionf l’ensemble des valeurs pour lesquelles il est possible de définir la fonction f.

On peut avoir une définition explicite de la fonction (avec une expression algébrique) ou implicite (fonction définie à partir d’une courbe).

Exemplesoit f(x)= 1

px−1. f(x) n’est définie que pour x strictement supérieur à 1. On dit que l’ensemble de définition est :D_{f =]1 ; +∞[.}

Soit un repère orthogonal³ O; −→

i ;→− j ´

. Soitf une fonction définie surI. Définition :

On appelle courbe représentative de la fonctionf surI, l’ensemble des pointsM(x; y) tels que :x∈Iet y=f(x).

Exemplef(x)=x². La courbe est une parabole .

II Variations et extrema :

II.1 Variations : Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalleI.

On dit que f est croissante surI lorsque les images par f de deux réels quelconques deI sont rangées dans le même ordre que ces réels.

On dit quef est décroissante surIlorsque les images parf de deux réels quelconques deIsont rangées dans l’ordre contraire de ces réels.

Traduction :

f est croissante signifie : pour tous réelsx₁etx₂deI tels quex₁Éx₂, on a f(x₁)Éf(x₂).

f est décroissante signifie : pour tous réelsx₁etx₂deItels quex₁Éx₂, on a f(x1)Êf(x2).

Une fonction est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I.

Étudier les variations d’une fonction, c’est préciser les intervalles sur lesquels elle est monotone et préciser si elle est croissante ou décroissante.

Étude des variations :

Nous avons à ce stade essentiellement deux méthodes : 1. On utilise les relations portant sur les inégalités :

Exemplesoit f(x)=1−1

x définie surR^∗=]− ∞; 0[∪]0 ; +∞[.

Étudions cette fonction sur ]0 ;+∞[.

Soient deux réelsx₁etx₂tels que 0<x₁Éx₂. Comme 0<x₁Éx₂, alors 0< 1

x₂É 1

x₁d’où−1

x₁É − 1

x₂<0 et en ajoutant 1 : 1− 1

x₁É1− 1

x₂. Par conséquent, 0<x₁Éx₂donne f(x1)Éf(x2).

La fonction est croissante sur ]0 ;+∞[. On montrerait de même qu’elle est croissante sur ]− ∞; 0[.

2. Méthode de la différence :

Exemple :f est la fonction définie surR^∗par : f(x)=x+1

x. Étudions la sur ]0 ;+∞[.

Soient deux réelsx₁etx₂quelconques tels que 0<x₁Éx₂.

Nous avons vu en Seconde que, pour comparer deux nombres, on étudie souvent le signe de leur différence.

f(x2)−f(x1)=x₂+ 1

x₂−x₁+ 1

x₁=x₂−x₁+x₁−x₂

x₁x₂ =(x2−x₁) µ

1− 1 x₁x₂

¶ . x₂−x₁Ê0.

Six₁Ê1 etx₂Ê1, alors (x1x₂−1)Ê0 et f(x2)−f(x1)Ê0.

Si 0<x₁É1 et 0<x₂É1, alors (x1x₂−1)É0 etf(x2)−f(x1)É0.

On en conclut quef est croissante sur [1 ;+∞[ et décroissante sur ]0 ; 1].

On voit que ce n’est pas toujours simple d’étudier les variations d’une fonction avec cette méthode (et encore, les exemples choisis étaient simples !)

Nous verrons dans un autre chapitre une méthode beaucoup plus pratique.

II.2 Minimum et maximum d’une fonction : Définition :

Soitf une fonction définie sur un intervalleIet soitx₀un point deI.

Lorsquef(x₀) est la plus grande valeur def surI, c’est à dire si f(x₀)Êf(x) pour toutxdeI, on dit quef admet un maximum enx0. Lorsquef(x0) est la plus petite valeur de f surI, c’est à dire sif(x0)Éf(x) pour toutxdeI, on dit quef admet un minimum. enx₀.

Le plus souvent, l’étude des extremums (ou extrema) repose sur l’étude des variations.

Par exemple, en traçant le tableau de variation de la fonctionf :x7→x+1

x sur ]0 ;+∞[, on voit que la fonction f admet un minimum en 1 et que cette valeur minimum est égale à 2.

Nous verrons dans un autre chapitre une méthode pour trouver les extrema.

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalleI. On dit que :

1. f est majorée s’il existe un nombre réelMtel quef(x)ÉMpour toutxdeI. 2. f est minorée s’il existe un nombre réelmtel quef(x)Êmpour toutxdeI. 3. f est bornée surIsi elle est à la fois minorée et majorée.

On dit alors que les réelsM etmsont respectivement un majorant et un minorant.

Interprétation graphique :

f est majorée siC_f est au-dessous d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équationy=M. f est minorée siC_f est au-dessus d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équationy=m. f est bornée siC_f est contenue dans une bande parallèle à l’axe des abscisses.

ExempleSoit la fonctionf définie sur [0 ; 1] par f(x)= x² x+1. Pour toutxde [0 ; 1], 0ÉxÉ1 donc 1Éx+1É2 d’où1

2É 1

x+1É1 et 0Éx²É1. Par produit (ce sont des nombres positifs), on a : 0É x²

x+1É1.

Sur [0 ; 1],f est minorée par 0 et majorée par 1.

Notation : Soient deux fonctions f etg définies sur un même intervalleI. Si, pour toutxde I, on a f(x)Ég(x), on écrit plus simplement : f Ég. De même, f Êg signifie : pour toutx∈I, f(x)Êg(x).

III Opération sur les fonctions :

Définition :

1. Deux fonctionsf etgdéfinies sur le même intervalleIsont égales si, pour toutx, deI,f(x)=g(x).

2. Soient f etg deux fonctions définies sur un intervalleI et soitλun réel. On définit les fonctions f +λ, f +g, f g etλf par : (f +λ)(x)= f(x)+λ, (f +g)(x)= f(x)+g(x), (f g)(x)= f(x)×g(x) et (λf)(x)=λf(x) pour toutxdeI.

3. Si, pour toutxdeI,g(x)6=0, on définit f

g surIpar µf

g

¶

(x)= f(x) g(x). Théorème sur les variations :

Soientf etg deux fonctions définies sur un intervalleI.

1. Siλ>0, les fonctionsf etλf ont le même sens de variation surI. 2. Siλ<0, les fonctionsf etλf ont des sens de variation contraire surI. 3. Si f etg sont croissantes surI, alors f +g est croissante surI.

4. Si f etg sont décroissantes surI, alors f +g est décroissante surI. Démonstration :

1. Soientx₁etx₂dansItels quex₁Éx₂. Alors (λf)(x2)−(λf)(x1)=λf(x2−λf(x1))=λ[f(x2)−f(x1)] qui a le même signe que f(x2)−f(x1) puisqueλ>0.

2. démonstration identique

3. Soientx₁Éx₂quelconques dansI. Puisquef etg sont croissantes, alorsf(x2)−f(x1)Ê0 etg(x2)−g(x1)Ê 0. Alors (f+g)(x₂)−(f+g)(x₁)=[f(x₂)+g(x₂)]−[f(x₁)+g(x₂)]=¡

f(x₂)−f(x₁)¢ +¡

g(x₂)−g(x₁)¢

Ê0 (comme somme de deux nombres positifs).

4. Démonstration identique

Remarque :on ne peut rien dire en général des variations des fonctionsf get f

g à partir de celles def etg. Exercices : page 29, n^o5 - 6

IV Composée de deux fonctions :

Définition :

Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit g une fonction définie sur un intervalle J tel que, pour toutxdeI, f(x)∈J. On appelle fonction composée des fonctions f etg, notéef ◦g («f rondg ») la fonction définie surIpar : f ◦g(x)=f(g(x)).

Exemples :Soit g la fonction définie sur Rpar g(x)=x²+1 et soit f la fonction définie sur R⁺ par p

x. g(x) appartient bien àR⁺. Alors : pour toutxdeR, f ◦g(x)=p

x²+1.

Soithla fonction définie surRparh(x)= 1

x²+1. Écrirehcomme composée de deux fonctions.

Théorème :

1. Si f etg sont de même monotonie,f ◦g est croissante.

2. Si f etg sont de monotonies différentes, alorsf ◦g est décroissante.

Exercices n^o10 - 12-13

V Parité et périodicité

V.1 Parité : Définition :

Soitf une fonction définie sur un ensemble de définitionD_{f et soit}C_f sa courbe représentative.

f est paire surD_f si, pour toutxdeD_f,

½ −x∈D_f f(−x)=f(x) C_f est alors symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple f(x)= 2

x²+1. f est définie surRet pour toutx∈R,−x∈Ret f(−x)=f(x).

O −→ i

−

→j

C_f

Définition :

Soitf une fonction définie sur un ensemble de définitionD_{f et soit}C_f sa courbe représentative.

f est impaire surD_f si, pour toutxdeD_f,

½ −x∈D_f f(−x)= −f(x) C_f est alors symétrique par rapport à l’origine du repère.

Exemple f(x)=x³

8 ; f est définie surR; pour toutx∈R,−x∈Ret f(−x)= −f(x).

O −→ i

−

→j

C_f

V.2 Périodicité : Définition :

f est une fonction périodique de périodeT (T>0) si, pour toutxdeD_{f,x+T ∈}D_{f et f(x+T)=f(x)}

Conséquence : on trace la courbe sur un intervalle de longueurT et la courbe s’en déduit par des translations de vecteurT−→

i .

VI Fonctions de référence :

VI.1 Fonction affine :f(x)=ax+b Elle est définie surR.

aest le coefficient directeur ;best l’ordonnée à l’origine.

Elle est croissante siapositif, décroissante siaest négatif, constante sia=0.

Sa représentation graphique est la droite d’équationy=ax+b.

Rappel : sib=0, on dit que la fonction est linéaire et la droite représentative passe alors par l’origine.

VI.2 Fonction carré :f(x)=x²

Elle est définie surR, paire, décroissante sur ]− ∞; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Sa courbe représentative est une parabole, de sommet de coordonnée (0 ; 0).

O −→ i

−

→j

VI.3 Fonction inverse : f(x)=1 x

Elle est définie surR^∗, impaire, décroissante sur ]− ∞; 0[ et sur ]0 ;+∞[.

O −→ i

−

→j

VI.4 Fonctions trigonométriques Définition :

SoitM un point du cercle trigonométriqueC _et^³_O; ^−→_{i ;}^→−_j ^´un repère orthonormal. Notonsxla mesure en radians de l’angle (→−

i ; −−→OM). Alors, les coordonnées deMsontM(cos(x) ; sin(x)).

M

O −→

i

−

→j x cosx sinx

• La fonction cosinus et la fonction sinus sont définies surR.

• La fonction cosinus est paire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordon- nées, tandis que la fonction sinus est impaire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.

• Elles sont périodiques de période 2π: pour tout x, cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) (donc les courbes entières se déduisent de la partie tracée sur l’intervalle [0 . 2π] par translations successives de vecteur 2π−→

i .

O→− i

−

→j

π 2

π 3π 2

2π

sinus cosinus

VII Fonctions associées :

Soitf une fonction définie sur un intervalleI, de courbe représentativeC_f.

1. Sig est définie parg(x)=f(x)+b, alorsg est définie surIetC_g s’obtient à partir deC_f par une translation de vecteurb−→

j .

2. Sig est définie parg(x)=f(x−a), alorsg est définie sur le translaté deI de vecteura−→

i etC_g s’obtient à partir deC_f par une translation de vecteura−→

i . Exemple : Pour toutx, sin(x)=cos³

x− π 2

´(voir chapitre de trigonométrie) donc les deux fonctions sont associées ; la courbe représentative de la fonction sin s’obtient à partir de celle de la fonction cos par une translation de vecteur−→π−→

i (c’est pour cela qu’on appelle les deux des sinusoïdes).

3. Sig est définie parg(x)=f(x−a)+b, alorsg est définie sur le translaté deIde vecteura−→

i etC_{g s’obtient} à partir deC_f par une translation de vecteura−→

i +b−→ j .

4. Sigest définie parg(x)= −f(x),ga le même ensemble de définition etC_gest symétrique deC_f par rapport à l’axe des abscisses (O−→

i ).

Illustrations graphiques : 1)

O −→ i

−

→j

1.−→ j 1.−→j

C_f C_g

g(x)=f(x)+1

2)

O −→ i

−

→j

2.−→i 2.−→i

C_f C_g

g(x)=f(x−2) 3)

O −→ i

−

→j

2.−→ i+−→

j 2.−→i+−→j

C_f C_g

g(x)=f(x−2)+1

4)

O −→ i

−

→j

C_f C_g

g(x)= −f(x) Exercices n^o25 - 26 - 27 - 28 - 31 - 32

n^o33 - 34 - 36 - 38

VIII Centre de symétrie d’une courbe

(Exercice page 26).

Première méthode :

Soitf la fonction définie surR\ {−1} par f(x)=x²+3

x+1 ;C est sa courbe représentative.

Montrer queC admet le pointI(−1 ; −2) comme centre de symétrie On utilise la propriété suivante :C_{, courbe} représentative d’une fonctionf, admet le pointI(a;b) comme centre de symétrie si et seulement si, pour touth tel quea+h∈D_,a−h∈D_{f etf(a+h)+f(a−h)=2b}(autrement dit, le symétrique deMpoint de la courbe par rapport àIest aussi sur la courbe)

Seconde méthode : changement de repère :

Soitf la fonction définie surRpar f(x)=x³−9x²+30x−34. Montrons queI(3 ; 2) est centre de symétrie de la courbeC_f. Pour cela, on prend comme nouveau repère le repère centré enIet avec les mêmes vecteurs de base ; la nouvelle fonctionF associée à la courbe dans ce repère doit être une fonction impaire.

On pose :

½ X =x−3

Y =y−2 d’où, pourx=3 ety=2,X =Y =0.

Par conséquent :

½ x=X+3 y=Y +2

On ay=f(x)=x³−9x²+30x−34 doncY+2=(X+3)³−9(X+3)²+30(X+3)−34=X³+9X²+27X+27−9X²− 54X−81+30X+90−34=X³+3X+2.

Par conséquent :Y =X³+3X =F(X) oùF est bien une fonction impaire.

Courbes de fonctions associées : 1)

O −→ i

−

→j

1.−→ j 1.−→j

C_f C_g

g(x)=f(x)+1

2)

O −→ i

−

→j

2.−→ i

2.−→i

C_f C_g

g(x)=f(x−2) 3)

O −→ i

−

→j

2.−→ i+−→

j 2.−→i+−→j

C_f C_g

g(x)=f(x−2)+1

4)

O −→ i

−

→j

C_f C_g

g(x)= −f(x)