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Chapitre IV : FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
I - Rappels 1) Définition
Définition 1 :
Soit un réel et M le point associé sur le cercle trigonométrique.
Dans le repère orthonormé O; , :
- le cosinus de , noté cos , est l’abscisse du point M.
- le sinus de , noté sin , est l’ordonnée du point M.
La fonction cosinus : ↦ cos et la fonction sinus : ↦ sin sont définies sur ℝ.
2) Premières propriétés
Propriété 1 : Pour tout réel : 1) −1 ≤ cos ≤ 1
2) −1 ≤ sin ≤ 1 3) cos² + sin² = 1
II - Propriétés des fonctions sinus et cosinus 1) Parité
Propriété 2 :
1) Pour tout réel, cos− = cos : la fonction cosinus est une fonction paire.
2) Pour tout réel, sin− = −sin : la fonction sinus est une fonction impaire.
Conséquences graphiques :
1) Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
2) Dans un repère, la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine.
2) Périodicité
Propriété 3 :
Pour tout réel, cos + 2 = cos et sin + 2 = sin
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 ou encore 2-périodiques.
Conséquence graphique :
Dans un repère O; , , la courbe représentative des fonctions cosinus et sinus sont invariantes par translation de vecteur 2.
Remarque : Ces deux propriétés permettent de réduire l’étude des fonctions cosinus et sinus à l’intervalle 0; : en effet, par (im)parité, on obtiendra les résultats sur – ; 0!, puis par périodicité sur ℝ.
2 III - Dérivées et variations des fonctions cosinus et sinus
1) Nombres dérivés en 0 des fonctions cosinus et sinus
Propriété 4 :
1) La fonction cosinus est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 vaut 0.
2) La fonction sinus est dérivable en 0 et son nombre dérivé en 0 vaut 1.
Démo : en activité
2) Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus
Propriété 5 :
1) La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction ↦ − sin 2) La fonction sinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction ↦ cos Démo : en activité
3) Sens de variation des fonctions cosinus et sinus
L’étude du signe des dérivées permet de dresser les tableaux de variation des fonctions cosinus et sinus sur 0; :
4) Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus
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