Chapitre 14 – Géométrie dans l’espace Partie 1 – Rappels et compléments

d₁ d2

d

1

d

₂

d

₁

d

₂

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 14 – Géométrie dans l’espace Partie 1 – Rappels et compléments

A – Droites et plans de l ’ espace : Propriétés d ’ incidence et de parallélisme

I.

Droites et plans dans l’espace

Dans la suite, on admettra les règles et propriétés 1. Les axiomes de la géométrie dans l’espace.

• Par deux points distincts de l’espace, il passe une droite et une seule.

• Par trois points A, B et C non alignés de l’espace, il passe un plan et un seul. On le note (ABC).

• Si un plan contient deux points A et B alors il contient tous les points de la droite (AB).

• Dans un plan de l’espace, on peut appliquer toutes les propriétés de géométrie plane (théorème de Thalès, théorème de Pythagore…).

2. Détermination d’un plan dans l’espace.

Un plan est parfaitement déterminé par l’une des données suivantes :

° Trois points non alignés. ° Une droite et un point n’appartenant pas à cette droite.

° Deux droites sécantes. ° Deux droites parallèles et disjointes.

3. Positions relatives de deux droites de l’espace

Deux droites d1 et d2 de l’espace sont soit coplanaires soit non coplanaires.

• coplanaires • non coplanaires

Sécantes

d1 et d2 sont sécantes en A.

d1 ∩ d2 =

{ }

A d1 et d2 sont strictement

parallèles. d1 ∩ d2 = ∅ d1 et d2 sont confondues

Aucun plan ne les contient toutes les deux.

d1 ∩ d₂ = ∅

Attention : Deux droites qui ne sont pas sécantes ne sont pas nécessairement parallèles.

4. Positions relatives de deux plans de l’espace Deux plans P1 et P2 de l’espace sont soit sécants soit parallèles.

• sécants • parallèles

P1 ∩P₂ = d P1 et P2 sont

strictement parallèles P1 ∩ P2 = ∅

P1 et P2 sont confondus P1 = P2

Remarque : Deux plans sécants se coupent suivant une droite.

5. Positions relatives d’une droite et d’un plan de l’espace Une droite d et un plan P de l’espace sont soit sécants soit parallèles.

• sécants • parallèles

d et P ont un seul point commun : P∩d={A}

d est contenue dans P : d┤P

d et P sont strictement parallèles : d∩P=Ø

Remarque : Une droite sécante à un plan coupe celui-ci en un seul point.

Attention : Ne pas croire qu’une droite parallèle à un plan est parallèle à toute droite de ce plan !

d P1

P2

. P2

P1

d1

d2 Parallèles

P1

P2

II. Parallélisme dans l’espace

1. Droites parallèles

• Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre.

• Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

• Par un point de l’espace, il passe une droite et une seule parallèle à une droite donnée.

2. Droite parallèle à un plan

° Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan.

Théorème du toit :

Soient d et d’ deux droites parallèles.

Soient P un plan contenant d et P’ un plan contenant d’.

Si P et P’ sont sécants alors leur droite d’intersection ∆ est parallèle à d et d’.

3. Plans parallèles

° Si deux plans sont parallèles alors toute droite parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

° Si deux plans sont parallèles à un même troisième alors ils sont parallèles entre eux.

° Par un point de l’espace, il passe un plan et un seul parallèle à un plan donné.

° Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.

4. Quelques remarques

• Deux droites parallèles à un même plan… ne sont pas nécessairement parallèles.

• Il existe une infinité de droites contenant un point donné et parallèles à un même plan donné.

• Deux plans parallèles à une même droite… ne sont pas nécessairement parallèles.

B – Vecteurs de l’espace

1- Caractérisation d’un vecteur

Un vecteur Åu=ÄAB non nul de l’espace est caractérisé par :

• Sa direction : celle de la droite (AB).

• Son sens : celui de A vers B.

• Sa norme, notée

║ ║

u ^Å =AB.

Remarque : Soit O un point de l’espace et Åu un vecteur de l’espace. Il existe un unique point M de l’espace tel que ÄOM= Åu

2- Vecteurs égaux

Dire que ÄAB=ÄCD signifie que ABDC est un parallélogramme.

3- Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit k un réel non nul et Åu un vecteur non nul. Alors le vecteur kÅu a :

• La direction de Åu.

• Le sens de Åu si k>0 et le sens contraire de Åu si k<0

• Pour norme

║ ║

kÅu =

| |

k

║ ║

^Åu

Par convention : k×Å0= Å0 et 0× Åu= Å0 .

4- Règles opératoires

Comme on peut toujours choisir des représentants des vecteurs Åu et Åv dans un même plan, la construction de vecteur somme s’effectue comme pour les vecteurs dans le plan.

Relation de Chasles : ÄAB+ÄBC=ÄAC

Règle du parallélogramme : ÄAB+ÄAD=ÄAC tel que ABCD soit un parallélogramme.

Soient Åu, Åv et w trois vecteurs de l’espace et soient k et k′ deux réels, alors Å

• Åu+ Åv= Åv+ Åu

• Åu+ Å0= Åu

•

(

^{Åu+ Åv}

)

^{+ Åw= Åu+}

(

^{Åv+ Åw}

)

• (k+k′)Åu=kÅu+k′ Åu

• k

(

k′Åu

)

=(kk′)Åu

P’

P d’ d

∆ ’

Remarque : Tout vecteur Åu admet un opposé noté –Åu vérifiant Åu+

(

^{- Åu}

)

^{= Å}0 . En particulier si Åu=ÄAB alors –Åu=ÄBA. 5- Vecteurs colinéaires

Définition : On dit que deux vecteurs non nuls Åu et Åv sont colinéaires s’il existe un réel k non nul tel que Åu=kÅv. Par convention, le vecteur Å0 est colinéaire à tout vecteur.

Remarques et conséquences :

• Propriété caractéristique : Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ÄAB et ÄCD sont colinéaires.

• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ÄAB et ÄAC sont colinéaires.

6- Vecteurs coplanaires, points coplanaires Définitions :

Soient Åu, Åv et w trois vecteurs de lÅ ’espaces tels que Åu et Åv ne soient pas colinéaires.

• On dit que Åu, Åv et w sont coplanaires s’il existe deux réels a et b tels que Å w=Å aÅu+bÅv.

• On dit que 4points (ou plus) sont coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

Propriété : Les points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs ÄAB, ÄAC et ÄAD sont coplanaires.

7- Géométrie analytique

• Quatre points O, A, B et C non coplanaires définissent un repère

(

^{O;ÄOA;ÄOB;ÄOC}

)

de l’espace.

• De même, un point O et trois vecteurs Åi, Åj et Åk non coplanaires définissent un repère

(

^{O; Åi; Åj; Åk}

)

de l’espace.

Théorème :

Dans un repère

(

^{O; Åi; Åj; Åk}

)

, soient A

(

^xA;yA;zA

)

^{, B}

(

^xB;yB;zB

)

^{, Åu}

 



 



x y z

, Åv

 

 

 

 

x′

y′

z′

et un réel k, alors :

• ÄAB a pour coordonnées

 

 

 

 

x_B−x_A y_B−y_A z_B−z_A

et le milieu I de [AB] a pour coordonnées

 

 

x_A+x_B

2 ;^yA+yB

2 ;^zA+zB 2

• Åu+ Åv a pour coordonnées

 

 

 

 

x+x′

y+y′

z+z′

et kÅu a pour coordonnées

 



 



kx ky kz

.

• Åu et Åv sont colinéaires ssi il existe un réel k tel que

 



^x=kx′

y=ky′

z=kz′ (càd les coordonnées de Åu et Åv sont proportionnelles).

• Si le repère

(

^{O; Åi; Åj; Åk}

)

est orthonormé alors

║ ║

^Åu = x²+y²+z² et

║ ║

^{ÄAB =}

(

^xB−x_A

)

²+

(

^yB−y_A

)

²+

(

^zB−z_A

)

²

C – Barycentres

1- Existence et définition

Soient A ₁ , A₂,…, A_n (nÃ2) n points de l’espace et soint α₁, α₂,…, α_n n réels donnés.

Lorsqu α₁+α₂+…+α_ný0, il existe un unique point G tel que α₁GAÅ₁ + α₂GAÅ₂ + …+α_nGAÅ_n= Å0 . G est alors appelé barycentre du système de points pondérés

{ ⁽

^A1;α1

⁾

^;

⁽

^A2;α2

⁾

^;…;

⁽

^An;αn

⁾ }

2- Propriétés

• Si G est le barycentre du système

{ ⁽

^A1;α1

⁾

^;

⁽

^A2;α2

⁾

^;…;

⁽

^An;αn

⁾ }

alors pour tout point M, on a : α₁MAÅ₁ + α₂MAÅ₂ +…+ α_nMAÅ_n =

(

^α1+α₂+…+α_n

)

ÄMG.

• Homogénéité du barycentre : Si G=b a r

{ ⁽

^A1;α1

⁾

^;

⁽

^A2;α2

⁾

^;…

⁽

^An;αn

⁾ }

^alors

G=ba r

{ ⁽

^A1;kα1

⁾

^;

⁽

^A2;kα2

⁾

^…

⁽

^An;kαn

⁾ }

avec k un réel non nul.

• Si G=b a r

{ ⁽

^A1;α

⁾

^;

⁽

^A2;α

⁾

^;…

⁽

^An;α

⁾ }

alors on dit que G est l’isobarycentre des points A1, A2, …, An.

• Théorème d’associativité ou barycentre partiel :

Si G=b a r

{ ⁽

^A1;α1

⁾

^;

⁽

^A2;α2

⁾

^;…

⁽

^An;αn

⁾ }

^{et si K=b a r}

{ ⁽

^A2;α2

⁾

^;…

⁽

^An;αn

⁾ }

^alors

G=ba r

{ ⁽

^A1;α1

⁾

^;

⁽

^{K;α1+α2+…+αn}

⁾ }

Remarques : Dans le cas d’un système pondérés de 3 points

{

(A;α);(B;β);(C;γ) :

}

• ┐M, on a αÄMA+βÄMB+γÄMC=(α+β+γ)ÄMG donc pour M=A, ÄAG= β

α+β+γÄAB+ γ

α+β+γÄAC donc les vecteur ÄAG, ÄAB et ÄAC sont coplanaires, donc les points A, B, C et G sont coplanaires donc G☻(ABC) .

• Si α=β=γ alors ÄAG+ÄBG+ÄCG= Å0 donc G est le centre de gravité du triangle ABC . 3- Coordonnées du barycentre dans un repère

(

^{OÅi; Åj; Åk}

)

Dans un repère

(

^{O; Åi; Åj; Åk}

)

, soient les points A1

(

^x1;y1;z1

)

^{, A2}

(

^x2;y2;z2

)

^{, …, An}

(

^xn;yn;zn

)

n points (avec nÃ2) alors le barycentre G du système

{ ⁽

^A1;α1

⁾

^;

⁽

^A2;α2

⁾

^;…

⁽

^An;αn

⁾ }

a pour coordonnées

(

^xG;y_G;z_G

)

telles que :



 

^{xG=α1+α2α+…+1 αnxA1+α1+α2α+…+2 αnxA2+…+α1+α2α+…+αn nxAn}

y_G= ^α1

α₁+α₂+…+α_ny_A1+ ^α2

α₁+α₂+…+α_ny_A2+…+ ^αn

α₁+α₂+…+α_ny_An z_G= ^α1

α₁+α₂+…+α_nz_A1+ ^α2

α₁+α₂+…+α_nz_A2+…+ ^αn

α₁+α₂+…+α_nz_An

D – Orthogonalité dans l’espace

1- Vecteurs orthogonaux

Soit Åu et Åv deux vecteurs non nuls de l’espace et soit A, B et C trois points de l’espace tels que Åu=ÄAB et Åv=ÄAC.

On dit que Åu et Åv sont orthogonaux (dans l’espace) si ÄAB et ÄAC le sont (dans le plan (ABC)).

(cad si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires dans le plan (ABC)).

Remarque : le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur 2- Droites orthogonales

Définition :

Soit D₁ et D₂ deux droites de l’espace, de vecteurs directeurs respectifs u Å1 et u Å2.

D₁ et D₂ sont dites orthogonales si u Å1 et u Å2 sont orthogonaux. On écrit alors D₁┴D₂.

Si deux droites D et D ’ sont parallèles, alors toute droite ∆ orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

Cependant, toute droite perpendiculaire à l’une n’est pas nécessairement perpendiculaire à l’autre.

Attention ! Si deux droites ∆₁ et ∆₂ de l’espace sont perpendiculaires à une même troisième droite ∆, alors les droites ∆1 et ∆2 ne sont pas nécessairement parallèles.

3- Droite et plan perpendiculaires Définition :

Une droite D est dite perpendiculaire ou orthogonale à un plan P si D est orthogonale à toutes les droites de P. On écrit alors D┴P.

Si deux droites ∆1 et ∆2 sont orthogonales et sécantes, on dit que ∆1 et ∆2 sont perpendiculaires Deux droites D1 et D2 orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes.

Théorème des trois perpendiculaires :

Une droite D est perpendiculaire ou orthogonale à un plan P si et seulement si D est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan P.

Propriété :

Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’un est perpendiculaire à l’autre.

Théorèmes :

Soit A un point de l’espace et D une droite.

Il existe un plan P

A et un seul contenant A et perpendiculaire à la droite D_. Ce plan P

A contient toutes les droites passant par A et orthogonales à D_.

P_A est l’ensemble des points M de l’espace tels que ÄAM┴ Åu (Åu désignant un vecteur directeur de la droite D_).

Conséquence : deux plans distincts, perpendiculaires à une même droite, sont parallèles.

Soit A un point de l’espace et P un plan.

Il existe une droite D

A et une seule, passant par A et perpendiculaire au plan P_. Conséquence : Deux droites perpendiculaires à un même plan, sont parallèles.

4- Vecteur normal à un plan

Définition : On appelle vecteur normal Ån à un plan P, tout vecteur directeur d’une droite perpendiculaire à P_.

Remarque : tous les vecteurs normaux à P sont colinéaires entre eux.

Propriété : soit Ån un vecteur non nul et A un point de l’espace.

Il existe un unique plan P_A contenant A et de vecteur normal Ån. Ce plan est l’ensemble des points M tels que ÄAM┴ Ån.

Une droite D de vecteur directeur Åu est perpendiculaire à un plan P de vecteur normal Ån si et seulement si Åu et Ån sont colinéaires.

Théorème des 3 perpendiculaires (variante) : Un vecteur est normal (ou orthogonal) à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Une droite D de vecteur directeur Åu est parallèle à un plan P de vecteur normal Ån si et seulement si Åu et Ån sont

orthogonaux.

Deux plans P

1 et P

2 de vecteurs normaux respectifs nÅ₁ et nÅ₂ sont parallèles si et seulement si nÅ₁ et nÅ₂ sont colinéaires.

5- Projection orthogonale dans l’espace Définition : Soit P un plan et A un point de l’espace.

On appelle projeté orthogonal de A sur le plan P, le point A′, intersection de P _{avec l’unique} droite D_A passant par A et orthogonale à P_.

Définition : On appelle distance d’un point A à un plan P, la distance AA′ où A′ est le projeté orthogonal de A sur P_.

Définition : Soit D une droite et A un point de l’espace.

On appelle projeté orthogonal de A sur la droite D, le point A", intersection de D avec l’unique plan P_A passant par A et orthogonale à D_.

6- Plan médiateur

Définition : Soit A et B deux points distincts de l’espace.

On appelle plan médiateur du segment [AB], l’unique plan perpendiculaire à la droite (AB) qui passe par le milieu I de [AB].

Propriété : Soit A et B deux points de l’espace.

Le plan médiateur du segment [AB] est l’ensemble des points équidistants de A et de B (càd l’ensemble de points M tels que MA=MB).

7- Plans perpendiculaires

Définition : Soient P₁ et P₂ deux plans et soient nÅ₁ et nÅ₂ des vecteurs normaux respectivement à P1 et à P

2. On dit que les plans P

1 et P

2 sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs nÅ₁ et nÅ₂ sont orthogonaux. On écrit P₁ ┴ P₂.

Remarques :

• Si P

1 et P

2 sont perpendiculaires, toute droite D

1 perpendiculaire à P

1 et toute droite D

2

perpendiculaire à P₂ sont orthogonales.

• Par contre, une droite incluse dans P₁ et une droite incluse dans P₂ ne sont pas nécessairement orthogonales.