Chapitre : 14 Géométrie dans l'espace

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Chapitre : 14 Géométrie dans l'espace

I – Perspective cavalière :

Règles : Dans la représentation d'un solide en perspective cavalière,

● dans un plan de face, une figure est représentée en vraie grandeur

● les éléments visibles sont dessinés en traits pleins et les éléments cachés sont dessinés en pointillés

● deux droites de l'espace parallèles sont représentées par deux droites parallèles (la perspective cavalière conserve le parallélisme)

● des points alignés sont représentés par des points alignés et des droites concourantes sont représentées par des droites concourantes (la perspective cavalière conserve l'alignement et le contact)

● la perspective cavalière conserve les proportions. En particulier, le milieu d'un segment est représenté par le milieu du segment dessiné.

Exemples : Deux grands classiques : le tétraèdre et le cube :

II – Règles d'incidence :

1. Règles de base :

Règle 1 : Deux points distincts définissent une droite et une seule.

Règle 2 : Trois points non alignés définissent un plan et un seul.

Règle 3 : Toute droite dont deux points distincts appartiennent à un même plan est contenue dans ce plan

Règle 4 : Soit P et Q deux plans distincts, deux cas seulement sont possibles :

• P et Q n'ont aucun point commun.

• P et Q se coupent suivant une droite.

2. Positions relatives de deux plans : Définition 1 : Soit P et Q deux plans.

• Dire que P et Q sont parallèles signifie que : P et Q sont confondus

ou

P et Q n'ont aucun point commun.

• Deux plans non parallèles sont des plans sécants.

3.

Positions relatives d'une droite et d'un plan :

Règle 5 : Soit P un plan et D une droite, trois cas seulement sont possibles :

• P et D n'ont aucun point commun.

• P et D se coupent en un point.

• D est contenue dans P.

Définition 2 : Soit P un plan et D une droite.

• Dire que D est parallèle à P signifie que : D est contenue dans P

ou

D n'a aucun point commun avec P.

• Dire que D est sécante à P signifie que D et P ont un seul point commun.

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4. Positions relatives de deux droites :

Règle 6 : Étant donné deux droites distinctes D et D' de l'espace, trois cas sont possibles :

• D et D' ont un seul point commun.

• D et D' n'ont aucun point commun, mais sont contenues dans un même plan.

• D et D' n'ont aucun point commun et il n'existe aucun plan qui les contienne toutes les deux.

Définition 3 : Deux droites contenues dans un même plan sont dites coplanaires.

Définition 4 : Soit D et D' deux droites de l'espace

• Dire que D et D' sont sécantes signifie que D et D' ont un unique point commun.

• Dire que D et D' sont parallèles signifie que : D et D' sont confondues

ou

D et D' sont coplanaires et n'ont aucun point commun.

Remarque : Deux droites sécantes ou parallèles sont coplanaires.

III - Intersection et parallélisme :

Théorème 1 :

● Par un point de l'espace, il passe une et une seule droite parallèle à une droite donnée.

● Par un point de l'espace, il passe un et un seul plan parallèle à un plan donné.

1. Parallélisme entre droites et plans :

Théorème 2 : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan.

2. Parallélisme entre droites :

Théorème 3 : Si une droite D est parallèle à un plan P, alors tout plan contenant D et sécant à P le coupe suivant une droite parallèle à D.

Théorème 4 : Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles entre elles.

Théorème 5 : Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les droites d'intersection sont parallèles.

Théorème 6 : (Théorème du toit)

Si deux droites parallèles D et D' sont contenues respectivement dans deux plans sécants P et P', alors l'intersection de P et P' est une droite parallèle à D (et à D')

3. Parallélisme entre plans :

Théorème 7 : Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ces deux plans sont parallèles entre eux.

Théorème 8 : Si deux droites sécantes d'un plan P sont respectivement parallèles à deux droites d'un plan Q, alors les plans P et Q sont parallèles.

Chapitre : 14 Géométrie dans l'espace