Droites et plans de l’espace

Droites et plans de l’espace

DELOBEL LUITAUD HALLOSSERIE

Blaise Pascal

septembre 2016

« Le silence éternel de ces espaces infinis m’effraie.. »

Blaise Pascal

Sommaire

1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Un planP est déterminé par :

trois pointsA,B et Cnon alignés, Oupar deux droites(d)et(d⁰)sécantes, Oupar deux droites(d)et(d⁰)parallèles,

Oupar une droite(d)et un pointAn’appartenant pas à (d).

Définition 1

On dit alors que les droites(d)et(d⁰)sontcoplanaires.

On dit également que 4 points ou plus sontcoplanaireslorsqu’ils appartiennent à un même plan.

Sommaire

1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Sommaire

1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Soient(d)et(d⁰)deux droites de l’espace. On a alors différents cas de figure : detd⁰ sont parallèles.

d∩d⁰=∅ detd⁰ sont coplanaires.

(Il existe donc un planP qui contient les droitesd

etd⁰.) detd⁰ sont sécantes.

d∩d⁰=I

detd⁰ ne sont pas coplanaires.

(Il n’existe donc pas de planP qui contient les droitesdetd⁰.)

d∩d⁰=∅

Attention !

Dans l’espace, deux droites qui n’ont pas de point commun ne sont pas forcément parallèles.

Exercice 1

ABCDE est une pyramide dont la baseABCD est un trapèze avec(BC)//(AD).

1.

Quelle est la position relative des droites (AD)et(EC)?

(Tracer leur intersection si elles sont sécantes.)

2.

Quelle est la position relative des droites (AB)et(CD)?

(Tracer leur intersection si elles sont sécantes.)

Exercice 2

ABCDEF GH est un carré de centreO. Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).

Questions Réponses

1.Les droites(AB)et (EG)sont :

sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 2.Les droites(EC)et

(AG)sont :

sécantes parallèles non coplanaires coplanaires 3.Les droites(HC)et

(EB)sont :

sécantes parallèles non coplanaires

Sommaire

1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Soientdune droite etP un plan. On a alors différents cas de figure : detP sont strictement

parallèles.

d∩P =∅

detP sont parallèles.

On noted//P.

dest incluse dansP (d⊂P)

d∩P =d

detP sont sécants. d∩P =I

Exercice 3

Les droites et plans suivants sont-ils sécants ou parallèles ?

1.

(AB)et(EF G)

2.

(AB)et(EF C)

3.

(DF)et(ABC)

4.

(AB)et(DHF)

5.

(AB)et(HF C)

6.

(AG)et(EHF)

Méthode

Pour construire l’intersection (si elle existe) d’une droite(d)et d’un planP, on cherche dans le planP une droite(d⁰)telle que(d)et de (d⁰)soient coplanaires.

Il suffit ensuite de construire l’intersection de(d)et(d⁰). On prouve ensuite que le point construit est le point recherché.

Exercice 4

ABCDEF GH est un cube. Le point Iappartient à l’arête[F G]

distinct deG.

Construire l’intersection de la droite(DI)et du plan(ABE).

Exercice 5

ABCDEF GH est un cube,I est le milieu de[EH]etM est le point de[BG]tel que 4BM=BG.

Construire l’intersection de la droite(IM)et du plan(ABC).

Exercice 6

ABCD est un tétraèdre.I est un point de la faceACD etJ un point de la face ABC.

Construire de deux manières l’intersection de la droite(IJ)et du plan(BCD).

Sommaire

1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

SoientP etP⁰ deux plans. On a alors différents cas de figure :

P etP⁰ sont sécants. P etP⁰ sont parallèles.

P∩P⁰ =d

SiP etP⁰ sont confondus :

P∩P⁰=P

SiP etP⁰sont strictement parallèles :

P∩P⁰=∅

Méthode

Pour construire l’intersection de deux plansP etP⁰, on choisit judicieusement deux droites(d)et(d⁰)de P et on trace leurs intersections avecP⁰. Les deux points construits définissent la droite d’intersection deP et de P⁰.

Exercice 7

ABCDEF GH est un cube.

Les questions suivantes sont indépendantes.

Construire l’intersection des plans(ACH)et(BDG).

Construire l’intersection des plans(IJ K)et(ACD).

Sommaire

1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Sommaire

1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Propriété 1

1.

Étant donné une droitedet un pointA, il existe une droite et une seule passant parAet parallèle àd.

2.

Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

Théorème 1

Une droitedest parallèle à un planP si et seulement si elle est parallèle à une droited⁰ de P.

Exercice 8

Dans le cubeABCDEF GH,M,N et P sont les milieux respectifs des segments[AD],[EH]et[F G].

Démontrer que la droite (GM)est parallèle au plan(N P B).

Propriété 2

1.

Si deux droites sont parallèles alors tout plan qui coupe l’une coupe l’autre.

2.

Si deux droites sont parallèles alors tout plan parallèle à l’une est parallèle à l’autre.

3.

Si une droitedest parallèle à deux plans sécantsP etP⁰ alorsdest parallèle à leur droite d’intersection d⁰.

Théorème 2 (Théorème du toit)

Soient deux droitesdetd⁰ parallèles.

SoientP un plan contenantdetP⁰ un plan contenantd⁰. SiP etP⁰ sont sécants en∆ alors la droite∆ est parallèle àdet àd⁰.

Exercice 9

SABCD est une pyramide dont la baseABCD est un carré.

Construire l’intersection des plans(SBC)et(SAD).

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1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles 4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Théorème 3

Deux plansP etP⁰ sont parallèles si et seulement si l’un contient deux droites sécantes d1 etd2parallèles à l’autre.

Exercice 10

ABCDEF GH est un cube.I,J,K et Lsont les milieux respectifs des

segments[EH],[EF],[HG]et[GF].

Démontrer que les plans(AIJ)et (BKL)sont parallèles.

Propriété 3

1.

Étant donné un planP et un point A, il existe un plan et un seul passant parAet parallèle àP.

2.

Si deux plans sont parallèles alors toute droite qui coupe l’un coupe l’autre.

3.

Si deux plans sont parallèles alors toute droite parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

4.

Si deux plans sont parallèles alors tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre.

5.

Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre et leurs droites d’intersection

Exercice 11

Construire les sections du cubeABCDEF GH par le plan(IJ K)dans chacun des cas suivants :

Exercice 11 (suite)

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1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles

4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

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1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles

4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Définition 2

Dire que deux droitesdet∆(non nécessairement coplanaires) sont orthogonalessignifie que les parallèlesd⁰ et∆⁰ respectivement àdet∆menées par un point quelconqueI sont perpendiculaires.

On noted⊥∆.

Remarque

Il ne faut pas confondre des droites orthogonales et des droites perpendiculaires.

Deux droites perpendiculaires doivent être sécantes alors que deux droites orthogonales peuvent être sécantes ou non coplanaires.

En fait, deux droites perpendiculaires sont orthogonales mais deux droites orthogonales ne sont pas forcément perpendiculaires.

Propriété 4

Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

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1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles

4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Définition 3

Une droitedet un planP sont dits orthogonaux lorsquedest orthogonale à toute droite deP.

On noted⊥P.

Théorème 4

Une droitedet un planP sont orthogonaux si et seulement sidest orthogonale à deux droites sécantes de P.

Exercice 12

On considère une pyramideSABCD régulière à base carrée. Le pointO est le centre du carréABCD.(SO)est donc la hauteur de cette pyramide. Le pointI est le milieu de[BC].

1.

Démontrer que(SO)et(BC)sont orthogonales.

2.

En déduire que la droite(BC)est orthogonale au plan(SOI).

Propriété 5

1.

¹ Étant donné un pointAet un planP, il existe une unique droite orthogonale àP et passant parA

2 Étant donné un pointAet une droited, il existe un unique planP orthogonal àdet passant parA.

2.

¹ Si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ils sont parallèles.

2 Si deux plans sont parallèles alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.

3.

¹ Si deux droites sont parallèles alors tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.

2 Si deux droites sont orthogonales à un même plan alors elles sont parallèles.

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1. Notion de plan

2. Positions relatives de droites et de plans 2.1 Positions relatives de deux droites

2.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan 2.3 Positions relatives de deux plans

3. Parallélisme 3.1 Droites parallèles 3.2 Plans parallèles

4. Orthogonalité

4.1 Orthogonalité de deux droites

4.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan 4.3 Plans perpendiculaires

Définition 4

Deux plansP etP⁰ sont dits perpendiculaires si l’un contient une droite orthogonale à l’autre.

Exercice 13

ABCD est un tétraèdre régulier.I,J et K sont les milieux respectifs de[AC], [AD]et[DC].

1.

Montrer que les droites(BI)et (J K)sont orthogonales.

2.

Montrer que la droite(J K)est orthogonale au plan(BDI).

3.

Que peut-on dire des plans(BDI) et(BJ K)?

FIN