Compléments sur la dérivation

Compléments sur la dérivation

On noteC la courbe représentative de la fonctionf dans un repère.

1. Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit qu’un nombre réel l est le nombre dérivé de f en a si la limite du rapport f(a+h)−f(a)

h lorsque h tend vers 0, existe et est égale au nombre l. Il est notéf⁰(a)

f⁰(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a) h

2. Interprétation géométrique

Si f est dérivable en a alors la courbe représentative C de f admet une tangente en A(a;f(a)) d’équation :

y =f⁰(a)(x−a) +f(a) 3. Fonction dérivée

Sif est dérivable en toutxd’un intervalleIon dit quef estdérivable surIet on appellefonction dérivéeoudérivée def et on notef⁰, la fonction qui à chaquexde I associe le nombre dérivé de f en x.

4. Dérivée et sens de variation d’une fonction Soitf une fonction dérivable sur un intervalle I.

(a) Sif⁰(x)≥0 pour toutx de I, alors la fonction f est croissante sur I.

(b) Sif⁰(x)≤0 pour toutx de I, alors la fonction f est décroissante sur I. (c) Sif⁰(x) = 0 pour toutx de I, alors la fonction f est constante sur I.

5. Dérivée deuⁿ, n∈Z^∗ etn6= 1

Siuest une fonction dérivable sur un intervalleI et sin <0,une s’annule pas surI alors la fonction uⁿ est dérivable sur I et

(uⁿ)⁰ =nu⁰uⁿ⁻¹ 6. Démonstration dans le casn∈Navec n≥2

initialisation Pour n= 2 :(u²)⁰ = (u×u)⁰ =u⁰×u+u×u⁰ = 2u⁰×u donc la propriété est vraie pourn= 2

hérédité On suppose qu’il existe un entier naturelk≥2tel que : u^k0

=ku⁰u^k−1 u^k+10

= u×u^k0

=u⁰×u^k+u×ku⁰u^k−1=u⁰×u^k+ku⁰u^k= (k+ 1)u⁰u^k donc la propriété est vraie pourk+ 1

Conclusion La propriété est vraie pour tout entier natureln≥2 7. Exercice

Démontrer la propriété pourn entier strictement négatif.

8. Dérivée de√u

Siu est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction √ u est dérivable surI et

√u⁰

= u⁰ 2√ u Démonstration Exercice

1

9. Tableau des dérivées usuelles

Fonction f définie par : Fonction f⁰ Ensemble de dérivabilité

f(x) =k,k constante réelle f⁰(x) = 0 R

f(x) =xⁿ, n∈N^∗ f⁰(x) =nxⁿ⁻¹ R

f(x) = 1

x f⁰(x) =−1

x²

]− ∞; 0[ou ]0; +∞[

f(x) = 1

xⁿ, n∈N f⁰(x) =− n

xⁿ⁺¹ ]− ∞; 0[ou ]0; +∞[

f(x) =√x f⁰(x) = 1

2√ x

]0; +∞[

f(x) = sin(x) f⁰(x) = cos(x) R

f(x) = cos(x) f⁰(x) =−sin(x) R

f(x) = e^x f⁰(x) = e^x R

f(x) = ln(x) f⁰(x) = 1

x ]0; +∞[

10. Dérivées et opérations u etv sont deux fonctions dérivables sur un intervalleI etkest un réel.

Somme (u+v)⁰ =u⁰+v⁰

Produit par un réel (ku)⁰ =ku⁰

Produit (u×v)⁰ =u⁰×v+u×v⁰

Inverse Siv 6= 0sur I,

1

v ⁰

=−v⁰ v² Qoutient Siv 6= 0sur I,u

v ⁰

= u⁰×v−u×v⁰ v² 11. Dérivée et fonction composée

u dérivable sur un intervalleI etv dérivable enu(x) pour tout x élément de I.

u(x) =ax+b [v(ax+b)]⁰=a×v⁰(ax+b)

Puissance entière [(u(x))ⁿ]⁰ =nu⁰(x)×[u(x)]ⁿ⁻¹, n∈Z^∗, n6= 1 etu(x)6= 0 surI si n <0

avec exp e^u(x)0

=u⁰(x)×e^u(x) avec ln [ln(u(x))]⁰ = u⁰(x)

u(x) avecu à valeurs strictement positives Cas général [v(u(x))]⁰ =v⁰(u(x))×u⁰(x)

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