     TD N°1 : Rappels et Compléments Mathématiques

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1 UNIVERSITE MOHAMMED V Semestre Printemps-Eté 2020 / SMIA-S2 FACULTE DES SCIENCES - RABAT- Module Electrostatique-Electrocinétique

TD N°1 : Rappels et Compléments Mathématiques

Exercice 1 : Calcul de quelques intégrales Calculer par intégration les quantités suivantes :

a) Le périmètre et la surface d'un disque de centre O et de rayon R.

b) La surface et le volume d'une sphère de centre O et de rayon R.

c) La surface latérale et le volume d'un cylindre de rayon R et de hauteur h.

Exercice 2 : Circulation d’un champ de vecteur

On considère le champ de vecteur : 𝐴⃗ = 2𝑦𝑖⃗ + 3𝑥𝑗⃗ − 𝑧²𝑘⃗⃗,

(S) la surface de l'hémisphère supérieur d'équation : 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² = 9 et (C) le contour sur lequel s'appuie cet hémisphère (figure ci-contre).

a) Calculer la circulation de 𝐴⃗ le long du cercle (C) b) Calculer le rotationnel de 𝐴⃗

c) Enoncer et vérifier le théorème de Stokes pour le champ de vecteurs 𝐴⃗.

Exercice 3 : Flux d’un champ de vecteur

Soit O l'origine du système de coordonnées et 𝑉⃗⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘⃗⃗, un champ de vecteurs.

1) Calculer la divergence de 𝑉⃗⃗ en coordonnées cartésiennes.

2) Ecrire 𝑉⃗⃗ en coordonnées sphériques. Calculer son flux à travers la surface d'une sphère de centre O et de rayon R. Calculer la divergence de 𝑉⃗⃗ en coordonnées sphériques et montrer que le théorème de Green-Ostrogradsky est vérifié dans ce cas.

3) Ecrire 𝑉⃗⃗ en coordonnées cylindriques et calculer son flux à travers la surface d'un cylindre d'axe Oz, de hauteur h, de rayon R et dont le cercle de base contient le point O. Calculer la divergence de 𝑉⃗⃗ en coordonnées cylindriques et vérifier la validité du théorème de Green- Ostrogradsky.

On donne : En coordonnées cylindriques : _divV₌¹ ⁽ ^V ⁾₊¹ ⁽^V ⁾₊ ^V^z z

 

   

    

En coordonnées sphériques : ²

2

1 1 1

= ( ) + (sin ) +

sin sin

r

divV r V V V

r r r r





   

    

Exercice 4 : Calcul d’angle solide

Soit O l'origine du système de coordonnées et ( ) r₃

E M = r ^{, (}^r ⁼^OM ⁼^xi ⁺^yj⁺^zk ) un champ de vecteurs défini en tout point de l'espace, sauf en O.

1) Calculer le flux de E M( )à travers un cône de sommet O, de demi-angle au sommet  et de hauteur h.

2) En déduire l'angle solide sous lequel "on voit" un disque à partir d'un point O de son axe.

3) Quel est l'angle solide correspondant à une moitié d'espace ? A l'espace entier ?

    

O

z

y x

(S)

(C)

(2)

2

SMPC- S2 / Printemps-Eté 2016 TD N°1 : CORRIGE

Exercice 1.

a) Périmètre et surface d'un disque :

◆ _disque

C

P =



dl

,

^dl ⁼^{R d}^ ^ ²

0 2

disque

P =



^R d=  R ⁼²^ ^R

◆S_disque

disque

=



ds^;^ds⁼^{  }^{d d}  S^disque =



0^R d



0²^d = R² b) ◆ Surface de la sphère :  =   S(Sphère) = 4R²

2 2 2 2

sphère 0 0

S sin sin 4

sphère sphère

ds R   d d R ^  d ^d R

=



=



=

 

=

◆ Volume de la sphère : _sphère

sphère

V =



dv ^;^dv ⁼^{² sin}^r ^^{dr d d}^{ }

2 3

0 0

4 3

R 2

sphère 0

V =



r dr



^sin d 



^d = R

c) ◆ Surface latérale du cylindre : ds=Rd dz _cyl ²

0 0

S ^h 2

cyl

ds R ^d dz Rh

 =



=

 

=

◆Volume : V_cyl

cyl

=



dv^;^dv⁼^{  }^{d d dz}  V^cyl =



0^R d



0²^d



0^hdz=R h² Exercice 2

2 3 2

A= yi + xj −z k

a) Calcul de la circulation de A sur le contour (C).

En coord. polaires : dl =Rd e _ où e_ est le vecteur unitaire tangent à (C) : A et dldoivent être exprimés dans le même système de coordonnées

sin cos

e_ = − i + j  dl= −Rsin d i +Rcos d j A dl 2yRsin d 3xRcos d

  = − +

avec x=Rcos et y=Rsin

2 2 2 2

. 2 sin 3 cos

A dl R  d R  d

 = − + =R²(5cos²−2)d

On en déduit la circulation sur (C) : A

C

C=



dl =R²



0²^(5cos²−2)d

2 2

0 0

5 1(1 cos 2 ) 2

C= R



^2 −  d − R



^d ⁼⁵^^R²⁻⁴^^R² ⁼^^R² ⁼⁹^ b) Calcul de rot A : A A^z A^y

rot i

y z

 

 

=  −   + ^A^x ^A^z j

z x

 

 − 

   

  + ^A^y ^A^x k

x y

 

 − 

   

  =k

c) Théorème de Stockes (S) : Surface quelconque s’appuyant sur un contour fermé (C).

A : Champ de vecteurs défini



^M



^(S).

La circulation de A le long de (C) est égale au flux du rot A à travers la surface quelconque (S) s’appuyant sur (C) : A

C S

C=



 =dl



rot A ds ^;

Calcul de flux de rot A à travers la surface S de l'hémisphère supérieur sur la surface S on a : ds=ds n. =ds e. _r =R²sin  d d e_r

2 2 2

0 0

( / ) _r sin cos

S

rot A S k ds e R d d

 

   

 =



 =

 

⁼^^R² ⁼⁹^ ^A

C

=



dl

O'



 dS

O y

x

O

z

y x

S

(C)

O' R y

x

e_

O

e_

(C)

(3)

3

z

n2

n1

nL

Sb2

Sb1

z

y x

O SL

V_ Vz

Donc le théorème de Stokes est vérifié dans ce cas.

Exercice 3.

1) En coord. cartésiennes V =xi +yj+zk

➔ ^div^V

( )

⁼^_

^{( )}

_x^x ⁺^_

^{( )}

_y^y ⁺^_

^{( )}

_z^z ⁼³

2) En coordonnées sphériques V = xi + yj+zk =re_r

• Flux de

V

à travers la surface de la sphère de centre O et de rayon R :

S

 =



V ds ^,^ds ⁼^{ds e}^r⁼^R²^sin^{  }^{d d e}^r ^, Sur la surface de la sphère : V=Re_r

r r

S

Re ds e

  =



 ⁼R³



0^ sin d 



0²^d ⁼⁴^^R³

• Divergence de

V

en coordonnées sphériques : 1₂ ² V = ( _r) = 3

div r V

r r



Th. de Green-Ostrogradsky : (V) : Volume délimité par une surface (S) fermée quelconque.

et V : Champ de vecteurs défini  M



^{(V) on a:} _sphère .

SV ds VdivV d

 =



=



 ^,

à l'intérieur de la sphère : d =r²sindrd d 

or div V =3  _sphère 3 ²sin 4 ³

sphère r drd d  R

 =



 =

Le Théorème de Green-Ostrogradsky est bien vérifié.

3) En coord. cylindriques [^{base e e k}

(

^^, ^^,

)

^{] :}^V ⁼^V^ ⁺^V^z ⁼^^e^ ⁺^zk

Flux de

V

à travers la surface du cylindre :

Scyl d Scyl ScylV ds.

 =



 =



^;^S^cyl ⁼^S^b¹⁺^S^b²⁺^S^L

➢ Calcul de 

Sb1:

1 1 ( ) ( 1 ) 1

d = Sb V ds = e_ +zk  −ds k = − z ds



 ^S^b1 =



S_B1( zds )− ¹ =0 car sur S1 on a z=0

➢ Calcul de 

Sb 2 d = _Sb₂ V ds2 =(e_ +zk)ds k2 = z ds2 = h ds2

    

 ^S² =h



S_{B 2}ds² =h



S_{b 2} d d = R h ²

➢ Calcul de 

SL :

( ). Re ( )

SL L L L L

d = V ds = e_+zk ds = _ds e_ = R ds = R Rd dz

L

2 2

S 2

SLR d dz R h

  =



=

Finalement, le flux total de V à travers la surface du cylindre sera:

1 2

3 2

 =  +  +  =

cyl S S SL R h

2) Divergence de V : V =xi +yj+zk =e_ +zk

• En coordonnées cylindriques :   _ 

   ^z V div V = 1 ( V ) +

z

  

   ⁼

1 2 z

= ( ) + 3

z

Th. de Green-Ostrogradsky : _cyl .

ScylV ds VcyldivV d

 =



=





O

ds V

(4)

4 D'après la question 1) _Scyl . 3 ²

ScylV ds R h

 =



= on a : d   = d d dz

VcyldivV d





 3 3 0^R 0² 0^h 3 ² _cyl

cyl d  d ^d dz R h

=



 =

  

= = 

Le Théorème de Green-Ostrogradsky est vérifié dans ce cas.

Exercice 4 :

1) Flux de E cône: ( )

cône

E cône E dS

 =





3 2

er

E r

r r

= = , champ radial

lat base

S S

E dS E dS

 =



 +





2

cos

base base

base

S S

E dS dS

r

=



 =



 ^,

^ ⁼ ^{( ,} ^{e ds}

^r ^base

⁾

En coordonnées polaires : dS =  d d avec 0   2 ₂cos

Sbase

d d r

   



 =



→ Exprimons  et r en fonction de : : d ₂ cos

htg hd

  

=  = 

1 cos cos

h r

r h

 

=  =

D'où :

2 2

2

2 2 0 0

cos cos sin

base cos

S

h tg d d d d

h

 

 

     

 =



 =

 

⁼²^

⁽

^{1 cos}⁻ ^

⁾

2) Angle solide sous lequel "on voit" un disque à partir d'un point O de son axe.

2 2

cos cos

d

disque

dS dS

r r

 

 =   =



Même expression que  calculé en 1) ( Sbase = Sdisque) : D'où ^{ =}²^

(

^{1 cos}⁻ ^

)

^{= }

3) ➔ Angle solide demi-espace ( plan): _plan 2 stéradian 2

 =   = 

➔ Angle solide espace entier  =   _espace=4 stéradian

         



Sbase



 dS

O'



disque O

O'





Sbase

 r 

h

Slat

O

M

O '

dSbase E

dSlat

E E E E E E

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