LM256 corrig´e examen - janvier 2012 Exercice I. Calculer le volume de la boule B de centre 0 et de rayon R dans R

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LM256 corrig´e examen - janvier 2012

Exercice I.Calculer le volume de la bouleB de centre 0 et de rayonR dansR³. On demande ici les d´etails de calcul.

On utilise des coordonn´ees sph´eriques.

x=rsinφcosθ y=rsinφcosθ

z =rcosφ

Le determinat Jacobien peut ˆetre calcul´e facilement et sera r²sinφ.

Le volume de la sph`ere devient

� 2π 0

� π 0

� R 0

r²sinφdφdθdr= 4 3πR³. Exercice II.

1. Trouver f tel que V=∇f pour V =

� x

x²+y², y x²+y²

� .

On doit avoir

∂f

∂x = x x²+y²

et ∂f

∂y = y x²+y². De la premi`ere equation on obtient

f(x, y) = 1

2log(x²+y²) +c(y)

ouc(y) est une fonction dey. De la seconde equation on obtient alors que

∂f

∂y = y

x²+y² +c^�(y).

On peut alors prendre c(y) = 0.

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2. Calculer l’int´egrale curviligne�

ΓV·dMle long du segment qui va du point (1,0) au point (0,4).

On a �

Γ

V·dM=f(0,4)−f(1,0) = log 16−log 1

2 = log 16

2 Exercice III. On consid`ere l’ensemble d´efini par

D=�

(x, y) | 1≤x²+y² ≤4 , x≥0 , y ≥3x � 1. Tracer un dessin deD.

D

arctan 3

(1,0) (2,0)

2. Calculer ��

D

1 y² dxdy.

L’intégrale sur le domaineDest donnée, en coordonnées polairesx=rcosθ, y = rsinθ, par

� 2 1

� π/2 arctan 3

1

(rsinθ)² rdθdr

=

� 2 1

1 r

�

−cosθ sinθ

�π/2 arctan 3

dr=

� 2 1

1 r

1

tan(arctan 3)dr =

� 2 1

1 r

1

3dr = 1 3log 2 2. Calculer le volume de l’ensemble

V =

�

(x, y, z)| (x, y)∈D, 0≤z ≤ 1 y²

� .

L’int´egrale sur le domaine V est donn´ee, par Fubini, par la formule

�� ¹

y2

dzdxdy =

�� 1

y²dxdy = 1 3log 2.

(3)

Exercice IV. Soit D le domaine de R³ limit´e par le cylindre d’´equation x²+y² = 1

le planz = 0 et la surface z =x²+y²+ 1.

1. Soit S le bord de D. Faire un dessin deS et de D.

S₂^��

S₂^�

S1

D S2 =S₂^� ∪S₂^��

2. Calculer le volume deD.

Comme, pour chaque (x, y) dans le disque de rayon 1, 0 ≤ z ≤ x² +y² + 1, il est utile d’utiliser des coordonn´ees cylindrinques. Alors 0 ≤ z ≤ r² + 1 et le volume s’´ecrit

��

D

dxdydz =

� 2π 0

� 1 0

� r²+1 0

dz r drdθ =

� 2π 0

� 1 0

(r²+ 1)r drdθ = 2π

�r⁴ 4 +r²

2

�1 0

= 3π 2 . Notons S le bord de D orient´e suivant le vecteur normal ext´erieur. NotonsS1 la

partie de S contenue dans le cylindre. et S2 =S\S1 (le complementaire de S1

dans S). Soit−→

V le champ de vecteurs de composantes (P, Q, R) = (x, y, z²).

3. Calculer le flux de −→

V `a travers S1.

La surfaceS1 est un cylindre de hauteur 2 sur un cercle de rayon 1. Le vecteur normal `a la surface S1 est n= √ ¹

x²+y²(x, y,0). Le flux est alors

��

S1

−

→V .ndσ =

��

S1

�x²+y²dσ =

��

S1

dσ =

� 2 0

� 2π 0

dσ = 4π.

4. Calculer le flux de −→

V `a travers S en utilisant la formule d’Ostrogradsky.

Par la formule d’Ostrogradsky

��

S

−

→V .ndσ=

��

D

div−→

V dxdydz

(4)

=

��

D

(2 + 2z)dxdydz=

��

∆

� x²+y²+1 0

2(1 +z)dz dxdy

ou ∆ ={(x, y), 0≤x²+y² ≤1} est le disque de rayon 1 centr´e `a l’origine. On obtien que le flux est

��

∆

�(1 +z)²�x²+y²+1

0 dxdy=

��

∆

((2 +x²+y²)²−1)dxdy qui en coordon´ees polaires est

=

� 2π 0

� 1 0

((2 +r²)²−1)r drdθ = 2π

� 1 0

(3r+ 4r³+r⁵)dr= 2π(3

2+1+1

6) = 16π 3 . 5. Calculer le flux de −→V `a travers S2.

Le flux est

��

S2

−

→V .ndσ =

��

S

−

→V .ndσ−

��

S1

−

→V .ndσ = 16π

3 −4π= 4π 3 . 6. Calculer l’aire deS1 et de S2.

Comme S1 est un cylindre de rayon 1 et hauteur 2 on a Aire(S1) = 4π.

On observe que S2 est l’union d’un disque de rayon 1S₂^� en dessous de D, et d’une surfaceS”2 au dessus deD. Pour calculer Aire(S”2) =��

S”2dσ, on utilise la formule

��

S”2

dσ =

��

∆

��∂z

∂x

�2

+

�∂z

∂y

�2

+ 1dxdy =

��

∆

�4x²+ 4y²+ 1dxdy.

On obtient en coordonn´ees polaires

=

� 2π 0

� 1 0

√4r²+ 1rdrdθ = 2π

�(4r²+ 1)^3/2 12

�¹

0

= 2π

�5^3/2−1 12

� .

On conclut que

Aire(S2) = Aire(S₂^�) +Aire(S”2) =π+ 4π = 5π.

7. Calculer la circulation de −→

V le long des courbes qui sont les bords de S1, orientées dans le sens trigonométrique par rapport a l’orientation de S1 (dont le vecteur normal est vers l’extérieur).

Le champ est orthogonal aux courbes. On obtient alors que la circulation est nulle.

(5)

(0,1,0) (0,0,0)

(1,1,1)

(2,0,0)

Exercice V.Soit D le parallélépipède définit par les vecteurs (2,0,0),(0,1,0),(1,1,1).

1. D´essiner le domaine D.

2. Calculer l’int´egrale

��

S

x²dy∧dz+xz dz∧dx+xz dx∧dy

sur la surface S définie comme bord de D. On considère la surface orientée avec la normale vers l’exterieur de la surface.

On utilise le th´eor`eme de Stokes (formule de Ostrogradsky).

��

S

x²dy∧dz+xz dz∧dx+xz dx∧dy=

��

D

2x dx∧dy∧dz+x dx∧dy∧dz =

��

D

3x dxdydz On parametrise le parallélépipède par le paramètres 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1 et

0≤c≤1:

(a, b, c)→a(2,0,0) +b(0,1,0) +c(1,1,1) = (2a+c, b+c, c).

Le determinant Jacobien de cette transformation est det((2,0,0),(0,1,0),(1,1,1)) = 2.

On obtient alors

� 1 0

3(2a+c) 2dadbdc= 6

� 1 0

(2a+c)dcda= 6

� 1 0

�

2ac+c² 2

�1 0

da

= 6

� 1 0

� 2a+1

2

�

da = 9.