Géométrie dans l’espace Spécialité Mathématique
On supposera dans la suite qu’un repère orthonormé de l’espace
O;~ı, ~, ~k
est donné ; c’est à dire la donnée d’un point O qui sert d’origine et la donnée de trois vecteurs qui définissent les trois directions des axes du repère de l’espace.
I)
Représentation et équation de surfaces dans l’espace
Un repère orthonormé de l’espace
O;~ı, ~, ~k
étant donné, tout point M de l’espace est repéré par ses trois coordonnéesx,y etz appelées respectivement sonabscisse, sonordonnéeet sacote; et on note
M(x, y, z) ou M
x y z
On appelle fonction de deux variablesf toute fonction de deux variablesxet y, définie surR×R=R2 ou sur une partie deR2, à valeur réelles.
Exemple : f : R2→Rdéfinie parf(x;y) =x+ 3y2+ 4xy.
f : [0; 1]×]0; +∞[→Rdéfinie parf(x;y) =x+ 3 ln(y) + 4x y.
On appelle fonction de trois variablesF toute fonction de trois variablesx,y etz, définie surR×R×R=R3 ou sur une partie deR3, à valeur réelles.
Exemple : F : R3→Rdéfinie parF(x;y;z) =x+ 3y2+ 4xy−z2. F : R3→Rdéfinie parF(x;y;z) =−x2+ 3xyz+xyz2.
Définition :surface de l’espace.
Si F est une fonction de trois variables x, y et z définie sur une partie de R3, alors l’ensemble des points M(x, y, z)vérifiant la relationF(x;y;z) = 0 est appelée unesurface de l’espace.
Les surfaces de l’espace sont de deux sortes :
-celles dont l’équation peut être mise sous la « forme résolue » z=f(x;y).
-celles dont l’équation reste mise sous la « forme implicite » F(x;y;z) = 0.
Exemple :Voici la représentation graphique d’une fonction de deux variables : surface d’équationz=f(x;y).
(différents styles : surface pleine ou en fil de fer, avec ou sans cacher les lignes situées derrière)
x y
z
x y
z
x y
z
x y
z
Exemple :La sphère de centreO(origine du repère) et de rayon 3 a pour équation implicitex2+y2+z2−9 = 0.
En effet,M(x, y, z)appartient à la sphère ssiOM2= 32. Cette équation reste sous forme implicite, ou encore sous la formex2+y2+z2= 9.
x y
z
x y
z
Exemple :L’ensemble des pointsM(x, y, z)vérifiant la relation z=x2+y2 est un paraboloïde elliptique (cf dessin ci-dessus).
Définition :surface de révolution.
SiD est une droite de l’espace etS une surface, on dit queS est unesurface de révolutiond’axe de révolution D ssi la section de la surfaceS par tout plan perpendiculaire àD est un cercle.
La rotation d’une courbe autour d’une droite fixe donne une surface de révolution. La courbe correspondante est appeléegénératricede la surface.
Pour obtenir une génératrice d’une surface de révolution dont on connaît l’axeD, il suffit de considérer l’inter- section de cette surface et d’un demi-plan de frontièreD.
Une surface de révolutionS est une surface globalement invariante par rotation autour de son axeD.
Exemple : La sphère d’équation x2+y2+z2 = 9est une surface de révolution d’axe (Oz) (en rouge sur le dessin). Une génératrice est donnée par un demi-cercle (en vert sur le dessin).
x y
z
b
x y
z
b
b
x y
z
b
x y
z
Exemple :Le paraboloïde elliptique d’équationz=x2+y2est une surface de révolution d’axe(Oz)(en rouge sur le dessin). Une génératrice est donnée par une demi-parabole (en vert sur le dessin).
x y
z
Une autre vue du paraboloïde elliptique d’équationz=x2+y2 :
c’est une surface de révolution d’axe (Oz) (en rouge sur le dessin). Une génératrice est donnée par une demi- parabole (en vert sur le dessin).
En limitant les valeurs dexet de y à l’intervalle [−2; 2], on voit mieux le maillage mais on perd la notion de solide de révolution.
x y
z
Exemple :Le tore est une surface de révolution d’axe(Oz)(en rouge sur le dessin). Une génératrice est donnée par un cercle (en vert sur le dessin).
vue de dessus vue de côté
Pour représenter la surface représentative d’une fonction de deux variables, on fait son tableau de valeurs : c’est un tableau à double entrée. On place par exemple dans la première ligne les valeurs dex, dans la première colonne les valeurs dey, et dans les autres cases les images de chaque couple.
Exemple : le tableau ci-dessous est un tableau de valeurs de la fonctionf définie parf(x;y) =x2+y2.
f(x;y) −2 −1 0 1 2
−2 −4 −3 −2 −1 0
−1 −3 −2 −1 0 1
0 −2 −1 0 1 2
1 −1 0 1 2 3
2 0 1 2 3 4
On place alors tous les points de l’espace de coordonnées (x;y;f(x;y)) et on constitue un maillage entre les points consécutifs... Bien sûr il faut prendre plus de valeurs afin d’avoir une surface qui commence à être ressemblante...
x y
z
10 valeurs pourxet poury
x y
z
20 valeurs pourxet poury
II)
Quelques surfaces usuelles
Au programme ne figurent que quelques surfaces simples : la sphère, le cylindre, le cône, le paraboloïde de révolution et le paraboloïde hyperbolique. Voici leur équations :
NOM équation surface
la sphère x2+y2+z2=R2
le cylindre x2+y2=R2
le cône z2tan2(α) =x2+y2
le paraboloïde de révolution z=x2+y2
le paraboloïde hyperbolique z=x y
La sphère de centreO et de rayonR a pour équation x2+y2+z2=R2
En effet, un pointM(x;y;z)est situé sur la sphère ssiOM =R ssiOM2=R2.
Et d’après la formule de la distance dans un repère orthonormé de l’espace, ceci équivaut à l’équationx2+y2+z2=R2.
Le cylindre d’axe(O;~k)et de rayonra pour équation x2+y2=R2
En effet, un pointM(x;y;z)est situé sur le cylindre ssiHM =R, oùH est le projeté orthogonal deM sur l’axe (O;~k).
MaisHM2=x2+y2 puisqueH a pour coordonnéesH(0; 0;z).
D’où l’équationx2+y2=R2.
Le cône de révolution d’axe(O;~k)a pour équation z2tan2(α) =x2+y2
Le cône de révolution d’axe (O;~k)a pour génératrice une droite qui fait un angleαavec l’axe(O;~k).
Un pointM(x;y;z)est situé sur le cône ssitan(α) =HM OH , oùH est le projeté orthogonal deM sur l’axe(O;~k).
Puisque H a pour coordonnées H(0; 0;z), on a OH2 = z2 et HM2=x2+y2.
D’où l’équationtan2(α) = x2+y2
z2 ⇐⇒ z2tan2(α) =x2+y2.
Le paraboloïde de révolution d’axe(O;~k)a pour équation z=x2+y2
Le paraboloïde hyperbolique d’axe(O;~k)a pour équation z=x y
La représentation dans l’espace des fonctions de deux variables n’est pas toujours facile à réaliser. Pour visualiser ces surfaces, il est donc souvent pratique de s’intéresser aux sections de la surface étudiée par une famille de plans, par exemple par tous les plans parallèles à un plan de coordonnées. Nous allons étudier ce procédé dans quelques cas.
II)
Section de surfaces par un plan
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé
O;~ı, ~, ~k
, les plans de l’espace ont une équation cartésienne de la formeax+by+cz=d. Il y a les cas particuliers des plans parallèles à un plan de coordonnées :
l’équation d’un plan parallèle à un plan de coordonnées est
• x=dsi le plan est parallèle à(O;~, ~k)
• y=dsi le plan est parallèle à(O;~ı, ~k)
• z=dsi le plan est parallèle à(O;~ı, ~)
Section du cylindre d’axe ( O ; ~ k ) et de rayon r
zOn considère un cylindre C d’axe (O;~k) de rayon r, d’équation cartésienne x2+y2 = r2, et un plan P parallèle au plan(O;~, ~k), d’équation cartésienne x=d.
La conjonction de ces deux équations implique que les coordonnées d’un point de la section deC parP doivent vérifierd2+y2=r2, c’est à direy2=r2−d2.
x y
z
Par conséquent,
• sid > r, cette équation est impossible, donc la section est vide ;
• sid=r, on obtienty= 0, donc la section est la droite de représentation x = d
y = 0
• si d < r, on obtient y = p
r2−d2 ouy = −p
r2−d2, donc la section est la réunion des deux droites de représentations
x = d
y = p
r2−d2 et
x = d y = −p
r2−d2
z Si le plan de coupe P est parallèle au plan(O;~ı, ~k), et a pour équation cartésienney =d, alors la section est du même type.
zSi le plan de coupeP est parallèle au plan(O;~ı, ~), et a pour équation cartésiennez=d, alors la section est un cercle d’équation x2+y2 = r2 dans le plan P.
x y
z
Section du cône d’axe ( O ; ~ k ) et d’angle α
zOn considère un cône C d’axe (O;~k) et d’angle α, d’équation cartésienne x2+y2 = z2tan2(α), et un plan P parallèle au plan (O;~, ~k), d’équation carté- siennex=d.
La conjonction de ces deux équations montre que les coordonnées d’un point de la section de C par P doivent vérifier d2+y2 = z2tan2(α), c’est à dire z2= 1
tan2(α)(y2+d2). On en déduit finalement que cette section est l’ensemble des points donc les coor- données vérifient
x = d
z = 1
tan(α)
py2+d2 et
x = d
z = − 1
tan(α)
py2+d2
Il s’agit des deux branches d’unehyperbole. Sid= 0, c’est un couple de droites sécantes enO.
z Si le plan de coupe P est parallèle au plan(O;~ı, ~k), et a pour équation cartésienney =d, alors la section est du même type.
zSi le planPest parallèle au plan(O;~ı, ~), d’équation z=d, la section est un cercle d’équation
x2+y2=d2tan2(α)dans le planP.
Section du paraboloïde de révolution d’axe ( O ; ~ k )
zOn considère la surface S d’équation z =x2+y2, et un plan P parallèle au plan (O;~, ~k), d’équation cartésienne x=d.
La conjonction de ces deux équations montre que les coordonnées d’un point de la section de S par P doivent vérifier z=d2+y2, ce qui est, dans le plan P l’équation d’uneparabole de sommet(d,0, d2).
z Si le plan de coupe P est parallèle au plan(O;~ı, ~k), et a pour équation cartésienney =d, alors la section est du même type : dans le planP l’équation d’uneparabole de sommet(0, d, d2).
z Si le plan P est parallèle au plan (O;~ı, ~), d’équation z =d alors les coordonnées des points de la section doivent vérifier
z = d x2+y2 = d Cette section et alors un cercle de centre(0,0, d).
Le paraboloïde peut donc être vu comme un empilement de cercles de rayon√
det de centre(0,0, d),dparcourant R+.
Section du paraboloïde hyperbolique d’axe ( O ; ~ k )
zOn considère la surfaceS d’équationz=xy, et un planP parallèle au plan(O;~, ~k), d’équation cartésienne x=d.
La conjonction de ces deux équations montre que les coordonnées d’un point de la section deS parP doivent vérifierz=dy, ce qui est, dans le planP l’équation d’une droite.
x
y z
z Si le plan P est parallèle au plan (O;~ı, ~), d’équation z =d alors les coordonnées des points de la section doivent vérifier
z = d xy = d Cette section est alors unehyperbole.
Sid >0 cela ressemble à ceci :
x
y z
ou bien, sid <0, cela ressemble à cela :
x
y z
Mais sid= 0, alors l’intersection est formée de deux droites d’équations respectivesx= 0ety= 0dans le plan d’équationz= 0.
x
y z
