ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 6
6 janvier 2020
Exercice I.
Soitnetpdeux entiers supérieurs ou égaux à 1.
SiM est une matrice deMn,p(R),la matricetM deMp,n(R)désigne la transposée deM.
On identifie les ensemblesM1,1(R)etRen assimilant une matrice deM1,1(R)à son unique coefficient.
On noteBnla base canonique deMn,1(R)etBpla base canonique deMp,1(R). SiM ∈ Mn,p(R)etN ∈ Mp,q(R)(q∈N∗), on admet quet(M N) =tNtM.
SoitXune matrice colonne non nulle donnée deMn,1(R)de composantesx1, x2, ..., xndans la baseBn. On poseA=XtXetα=tXX.
1. ExprimerAetαen fonction dex1, x2, ..., xn. Que vauttA? En déduire que la matriceAest diagonalisable.
2. Soitf l’endomorphisme deMn,1(R)de matriceAdans la baseBn.
DéterminerImf etKerf; donner une base deImfet préciser la dimension deKerf.
3. Calculer la matriceAX.Déterminer les valeurs propres deAainsi que les sous-espaces propres associés.
Exercice II.
On admet que siZ1 etZ2 sont deux variables aléatoires à densité, définies sur le même espace probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est définie par :
Cov (Z1, Z2) =E(Z1Z2)−E(Z1)E(Z2)
On admet également que siZ1etZ2sont indépendantes alors leur covariance est nulle.
On considère deux variables aléatoires réellesXetUdéfinies sur le même espace probabilisé(Ω,A,P),indépendantes, Xsuivant la loi normaleN(0,1)etUsuivant la loi discrète uniforme sur{−1,1}.
On pose Y = U X et on admet queY est une variable aléatoire à densité , définie elle aussi sur l’espace probabilisé (Ω,A,P).
1. a. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
P (Y 6x) = P ([U = 1]∩[X6x]) + P ([U =−1]∩[X >−x])
b. En déduire queY suit la même loi queX.
2. a. Calculer l’espérance deU puis montrer queE(XY) = 0. b. En déduire queCov (X, Y) = 0.
3. a. Rappeler la valeur deE X2
et en déduire que Z +∞
0
x2e−x
2 2 =1
2
√2π. b. Montrer, grace à une intégration par parties que
∀A∈R+, Z A
0
x4e−x
2
2 dx=−A3e−A
2 2 + 3
Z A
0
x2e−x
2 2 dx
c. En déduire que l’intégrale Z +∞
0
x4e−x
2
2 dxconverge et calculer sa valeur.
d. Etablir finalement queXpossède un moment d’ordre4et queE X4
= 3.
4. a. Vérifier queE X2Y2
= 3. b. DéterminerCov X2, Y2
.
c. En déduire queX2etY2ne sont pas indépendantes.XetY le sont-elles ? Justifier.
d. Cet exercice a permis de montrer qu’un résultat classique concernant les variables discrètes est encore valable pour les variabales à densité. Lequel ?
ECE 2 1/2 Lycée François Couperin
