DEVOIR A LA MAISON N°6 2

DEVOIR A LA MAISON N°6 2

6.

Pour le lundi 11 décembre 2017.

I. A, B et C sont trois points du plan non alignés. D et E sont les points tels que DA AC et CE AB Montrer que ADBE est un parallélogramme.

II. On donne la figure ci-contre où ABCD, BDFE et ECFG sont des parallélogrammes :

Compléter :

AD BE ...

CF CE A...

DC GE ...

CE CF DF ...

III. Sur la figure ci-dessous, placer les points M, N, R et S tels que : AM AB 2 AC

BN 1

2 RA AD AS SC

IV. On se place dans un repère. Soient les points : A(1 ;3) B( 4 ;0), C(3 ;2) et D(0,5 ; 0,5).

1. Les points A, B et C sont-ils alignés ? Justifier.

2. Montrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze.

3. Déterminer les coordonnées du point I que ABCI est un parallélogramme.

4. Déterminer les coordonnées du point M tel que AM 2 BM CD .

V. ABCD est un parallélogramme de centre O. Montrer que AB OD CD OB 0 . VI. Facultatif.

Soit un parallélogramme ABCD. Soit I le milieu de [AD], E le symétrique de I par rapport à A et K le point tel que AK 1

3 AB .

1. Exprimer les vecteurs EK et EC en fonction de AB et AD .

2. Montrer que les points E, K et C sont alignés.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°6 2

6.

I. CE AB donc ACEB est un parallélogramme. Alors on a BE AC .

On a BE AC et DA AC donc BE DA . Ainsi, ADBE est un parallélogramme.

II.

AD BE AD DF AF CF CE AD DC AC

DC GE DC EG DC CF DF CE CF DF AB BC CG AG III.

IV. On se place dans un repère . Soient les points : A(1 ;3) B(‒ 4 ;0), C(3 ;2) et D(0,5 ; 0,5).

1. AB ( 5 3) et AC (2;-1).

− 5 × (− 1) = 5 et − 3 × 2 = − 6. Les vecteurs AB et AB (-5;-3) et AC (2;-1). ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. AB ( 5 3) et CD (-2,5;-1,5).

− 5 × (− 1,5) = 7,5 et − 3 × (− 2,5) = 7,5. Les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Alors ABDC est un trapèze.

3. I est le point tel que ABCI est un parallélogramme. On note (x ; y) ses coordonnées.

ABCI est un parallélogramme donc AI BC AI (x −1; y−3) et BC (7;2).

AI BC donc

x−1=7

y−3=2 donc

x =8

y =5 I(8 ; 5)

4. Soit M(x ; y). AM ( x−1; y −3) ; BM ( x +4;y ) et CD (-2,5;-1,5) AM 2 BM CD donc





x−1+2( x +4)=-2,5 y−3+2 y =-1,5 donc





3x +7=-2,5 3y −3=-1,5 donc

 

 ^{x=- 9,5} ₃ ^{=- 19} ₆

y= 1,5 3 =0,5

M  

 

6

;

V. ABCD est un parallélogramme donc AB DC .

D’autre part, ABCD est un parallélogramme de centre O donc O est le milieu de [BD ] et donc OD BO .

Alors, AB OD CD OB DC BO CD OB DC CD BO OB

DD BB 0 0 0 . VI. Facultatif.

1. EK EA AK . Or E est le symétrique de I par rapport à A donc EA AI AI AK . Or I est le milieu de [AD] donc AI 1

2 AD 1

2 AD AK . Or AK 1 3 AB 1

2 AD 1

3 AB

EC EA AC

EA AB BC . Or ABCD est un parallélogramme donc BC AD EA AB AD . Or vec(EA)=vec(AI) 1

2 AD 1

2 AD AB AD . 3

2 AD AB

2. EK 1

2 AD 1

3 AB et EC 3

2 AD AB

On a donc EC 3 EK .

Les vecteurs EC et EK sont colinéaires donc les points E, K et C sont alignés.