ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 3

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4 novembre 2019

Exercice I et II :obligatoires Exercice III :

Parties A et B : obligatoires Parties C et D : facultatives

Exercice I.

Soit la suite(un)n∈Ndéfinie paru0∈]0; 1[, ∀n∈N, un+1=un−u²_n. 1. Montrer que ∀n∈N, un ∈]0; 1[.

2. Montrer que la suite(un)_n∈Nconverge, et déterminer sa limite.

3. Montrer que la série X

n>0

u²_n converge, et calculer sa somme.

4. Etudier la nature de la série X

n>0

ln un+1

u_n

.

5. En déduire la nature de la série X

n>0

un, et calculer sa somme si elle existe.

Exercice II.

Soitf l’endomorphisme deR³dont la matrice dans la base canoniqueBest A=







2 10 7

1 4 3

−2 −8 −6





. Soit également le vecteur u= (2,1,−2).

1. a. Vérifier queKer(f) =V ect(u). b. Aest-elle inversible ?

c. DéterminerIm(f).

2. a. Déterminer le vecteurv, dont la2^ecoordonnée dansBvaut1, tel quef(v) =u.

b. Démontrer que le vecteurw, dont la2^ecoordonnée dansBvaut1, et qui vérifief(w) =v, estw= (0,1,−1). c. Montrer que(u, v, w)est une base deR³, que l’on noteraB⁰.

d. Expliciter la matriceP =P_B,B⁰.

3. a. Ecrire la matriceNdef dans la baseB⁰. b. Donner la relation liantA,N,P etP⁻¹.

c. En déduire qu’il existen∈N, que l’on déterminera, tel que ∀k>n, A^k =O₃. 4. On noteC_N (resp.C_A) l’ensemble des matrices deM3(R)qui commutent avecN (resp.A).

a. Montrer queC_N est un s.e.v. deM3(R). On admet qu’il en est de même pourCA. b. Etablir que CN =V ect(I3, N, N²).

c. Montrer que M ∈CA ⇐⇒ P⁻¹M P ∈CN. d. En déduire queCA=V ect(I3, A, A²).

e. Quelle est la dimension deCA?

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4 novembre 2019

Exercice III.

Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une succession de tirages d’une boule dans cette urne. Après chaque tirage, on remet la boule tirée dans l’urne, et on rajoute dans l’urne une boule de couleur opposée à celle qui vient d’être tirée.

On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé(Ω,A, P).

Pour toutk∈N, on noteXk le nombre de boules blanches présentes dans l’urne juste avant le(k+ 1)^etirage (soit aussi après lek^etirage. En particulier, on aX₀= 1. On admet que pour tout entierk,X_kest une variable aléatoire de(Ω,A, P). On pose, pourk∈N^∗, Bk ={lek^etirage donne une boule noire}, et Nk=Bk.

Partie A.

1. Déterminer la loi deX1. Donner son espérance et sa variance.

2. Justifier soigneusement que la loi deX2est donnée par : P(X₂= 1) = 1

6, P(X₂= 2) = 2

3, P(X₂= 3) = 1 6 3. Préciser l’ensembleXk(Ω)des valeurs que peut prendreXk.

4. Soiti∈N^∗etj∈Xk(Ω). DéterminerP[X_k=j](Xk+1 =i).

(On distinguera différents cas selon les valeurs relatives deietj).

5. Déduire de ce qui précède que :

∀k∈N,∀i∈N^∗, P(X_k+1=i) = i

k+ 2P(X_k=i) +3 +k−i

k+ 2 P(X_k =i−1) (∗) 6. À l’aide de la formule (*) déterminer la loi deX₃.

7. a. Montrer que ∀k∈N, P(Xk= 1) = 1 (k+ 1)!. b. Pourk∈N, déterminer P(X_k =k+ 1).

c. On pose, pourk∈N, ak = (k+ 1)!×P(Xk = 2). Exprimerak+1en fonction deaket dek.

d. Montrer que la suite(b_k)_k∈N, définie par ∀k∈N, b_k =a_k+k+ 2, est géométrique.

e. En déduire alors que ∀k∈N, P(X_k = 2) = 2^k+1−k−2 (k+ 1)! .

Partie B.

8. Que renvoie la fonction Scilab suivante pour un entierknon nul ? Détailler le fonctionnement de la ligne 5.

function x=mystere(k) n=1

b=1 for i=1 :k

r=floor(rand()*(n+b)+1) //ligne 5 if r>n then

n=n+1 else

b=b+1 end

end x=b endfunction

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4 novembre 2019

9. Ecrire une fonction Scilab d’en-têtefunction LE=loiexp(k,N)qui prend en entrée un entier strictement positifket un entierN, qui effectueNsimulations dektirages successifs dans l’urne et qui retourne un vecteurLEqui contient une estimation de la loi deX_k(c’est-à-dire que pour chaquei∈[[1, k+ 1]],LE(i)contient la fréquence d’apparition de l’événement[Xk=i]au cours desN simulations).

On pourra utiliser la fonction mystere.

10. Compléter la fonctionloitheosuivante, qui prend en entrée un entier strictement positifn, afin qu’elle retourne un vecteurLTqui contient la loi théorique deX_n.

function LT=loitheo(n) M=zeros(n,n+1) M(1,1)=1/2 M(1,2)=1/2 for k=1 :n-1

M(k+1,1)=...

for i=2 :k+1

M(k+1,i)=...

end

M(k+1,k+2)=...

end LT=...

endfunction

11. Un étudiant nous propose comme loi deX5le résultat suivant:

k 1 2 3 4 5 6

P([X₅=k]) 0.001368 0.079365 0.419434 0.418999 0.079454 0.00138

A-t-il utiliséloi_expou bienloi_theo?

Partie C.

12. a. À l’aide de la formule (*), montrer que ∀k∈N, E(X_k+1) = k+ 1

k+ 2E(X_k) + 1. b. Déduire de ce qui précède que ∀k∈N, E(X_k) = k+ 2

2 .

c. SoitY_kla variable aléatoire égale au nombre de boules noires présentes dans l’urne aprèsktirages.

Justifier queXketYkont même espérance, puis retrouver le résultat de la question précédente.

On admettra pour la suite que ∀k∈N^∗, V(Xk) =k+ 2 12 . 13. Soitα >0. On admet que lim

k−→+∞P

Xk

k+ 2−1 2

< α

= 1.

Interpréter ce résultat (les cubes pourront le démontrer), et le justifier intuitivement.

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4 novembre 2019

Partie D.

14. Pour tout couple d’entiers(i, j)tels que16j < i, on définit l’applicationϕ_i,jpar .

ϕi,j: R[X] −→ R[X] P 7−→ jP(X+ 1)−iP(X)

a. Montrer queϕ_i,jest linéaire.

b. PourP ∈R[X], montrer quedeg (ϕ_i,j(P)) = deg(P). c. En déduire queϕ_i,jest injective.

d. Montrer que pour tout polynôme P dans R[X], il existe un polynômeQ dansR[X]tel que ϕi,j(Q) = P. (PourPnon nul, on pourra s’intéresser à la restriction deϕi,jàRn[X]oùnest le degré deP). Ce qui précède montrant queϕ_i,jest un automorphisme, on définit le polynômeP_i,jpour tout couple d’entiers(i, j)tels que 16j6i,en posant

P1,1(X) = 1, et pour16j < i, Pi,j(X) =ϕ⁻¹_i,j ((3 +X−i)P_i−1,j(X))

et enfin pour tout entieri >1.

Pi,i(X) =−

i−1

X

j=1

Pi,j(0)

15. a. Vérifier que :P2,1(X) =−X−2, puis calculerP2,2(X).

b. Vérifier que :P3,2(X) =−2X−4. On admettra dans la suite que :P3,1(X) = 1 2X²+3

2X+ 1etP3,3(X) = 3.

16. On considère, pour tout entierideN^∗, la propriété suivante.

H_i:∀k∈N, P(X_k=i) = 1 (k+ 1)!

i

X

j=1

P_i,j(k)j^k

On souhaite montrer par récurrence que, pour toutideN^∗, Hi, est vraie.

a. Montrer queH1est, vraie.

b. Soiti >1. On suppose queHi−1est vraie et on pose :

∀k∈N, αk = (k+ 1)!P(Xk=i)−

i−1

X

j=1

Pi,j(k)j^k

En utilisant la formule (*) et la relation(3 +X−i)P_i−1,j(X) =ϕ_i,j(P_i,j(X)), montrer que la suite(α_k)_k>0est géométrique. Déterminerα0, et en déduireHique est vraie.

c. Conclure.

17. a. En utilisant le résultat de la question15.a., retrouver le. résultat de la question7.e.

b. DéterminerP(Xk = 3)pour toutk∈N^∗.

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