(1)TS:CDm 3 Correction Devoir maison page 53 (Sn) définie pour tout entiernparSn= n X k=1 1 k

(1)

TS:CDm 3 Correction Devoir maison 3 _2017-2018

⊲ 79 page 53

(Sn) définie pour tout entiernparSn=

n

X

k=1

1

k² = 1 + 1

2²+. . .+ 1 n².

1. Valeurs arrondies à 10⁻³ près : S5≈1,467 ;S20≈1,596 ;S50≈1,625 ;S100≈1,635

La suite (Sn) a l’air d’être croissante et majorée par 1,7 (qui peut le plus, peut le moins) donc on peut penser qu’elle est convergente.

2. Pour toutnappartenant àN,Sn+1−Sn=. . .= 1

(n+ 1)² et 1

(n+ 1)² >0 doncSn+1−Sn>0⇔Sn+1> Sn : la suite (Sn) est croissante.

3. Pour tout entierksupérieur ou égal à 2 : d’une part, 1

k−1−1

k = k−(k−1)

k(k−1) = 1 k(k−1)

d’autre part, 0< k−1< k donc 0< k(k−1)< k² et, la fonction inverse étant décroissante sur ]0; +∞[, 1

k(k−1) > 1 k² On a donc bien, ∀k>2, 1

k² < 1 k−1 −1

k

4. Grâce à la question précédente, on peut majorerSn en majorant chaque terme deSn : En effet,Sn= 1 + 1

2² + 1

3² +. . .+ 1 n² <1 +

1 2−1−1

2

+ 1

3−1 −1 3

+. . .+ 1

n−1− 1 n

ce qui donne,Sn<2−1

n<2, ce qui prouve que (Sn) est majorée par 2. Elle est de toute évidence minorée par 0 car Sn est une somme de termes positifs. D’où le résultat.

5. (Sn) est croissante et majorée donc, en vertu du théorème de convergence monotone, (Sn) est convergente.

Remarque 1 On peut démontrer, assez difficilement en terminale S, que la limite vaut π² 6 . Étonnant, non !

My Maths Space 1 / 4

(2)

⊲ 76 p 52

u1=3

2 et un+1= nun+ 1

2(n+ 1) pour tout entiern∈N^∗.

Partie A

1. Voir ci-contre 2. Voir ci-contre 3. La suite (un)

semble décrois- sante et minorée par 0 : on peut penser qu’elle est convergente.

Variables

n est un entier naturel u est un réel

Initialisation

Affecter à n la valeur 1 Affecter à u la valeur 1,5 Traitement

Tant que n <9

Affecter à u la valeur nu+ 1 2(n+ 1) Affecter à n la valeur n+ 1 Fin tant que

Sortie

Afficher la variable u

Variables

Initialisation

Afficher la variable u Tant que n <99

Affecter à u la valeur nu+ 1 2(n+ 1) Affecter à n la valeur n+ 1 Afficher la variable u Fin tant que

Partie B

On posevn=nun−1 pour tout entiern>1.

1. Pour toutn∈N,

vn+1= (n+ 1)un+1−1

= (n+ 1)× nun+ 1 2(n+ 1)−1

= 1

2(nun−1)

= 1 2vn

La suite (vn) est donc géométrique de raison 1

2 et de premier terme v1=u1−1 = 1

2. Pour toutn∈N^∗, on en déduit que vn=v1qⁿ⁻¹=1

2 × 1

2 ⁿ⁻¹

= 1

2 ⁿ

. 2. De la relation, vn =nun−1, on exprimeun = vn+ 1

n pour tout n>1. Si l’on reporte l’expression de vn, on retrouve la formule explicite attendue pourun

un= 1 + ¹₂n

n , n>1 3. Pour le calcul de la limite : lim

n→+∞1 + (0,5)ⁿ(∗) = 1

n→+∞lim n= +∞

)

=⇒ (quotient)

n→+∞lim un= 0 (*) (0,5)ⁿ −→

n→+∞0 car −1<0,5<1.

4. Pour toutn>1,un+1−un= 1 + ¹₂ⁿ⁺¹

n+ 1 −1 + ¹₂ⁿ

n =. . .= −1− ¹₂ⁿ

(¹₂n+ 1) n(n+ 1) Pour tout n > 1, −1− ¹₂ⁿ

(¹₂n+ 1) < 0 et n(n+ 1) > 0 donc le quotient est négatif et la suite (un) est décroissante.

(3)

Partie C

Algorithme permettant de déterminer le plus petit entierntel queun<0,01 : Variables

Initialisation

Tant que u >= 0.01 (commentaire : la condition de la boucle est la négation de u <0.01) Affecter à u la valeur nu+ 1

2(n+ 1) Affecter à n la valeur n+ 1 Fin tant que

Sortie

Afficher la variable n

⊲ 69 p 85

f est la fonction définie sur ]− ∞; 1[∪]1; +∞[ parf(x) =−2x²−x+ 2 x−1 . 1. Une factorisation par les termes « de plus haut degré », permet d’écrire que

pourx6= 0, f(x) =x −2−_x¹+_x²2

1−_x¹

• lim

x→+∞

1

x = lim

x→+∞

1

x2 = 0 donc,

x→+∞lim −2−_x¹+_x²2 =−2

x→+∞lim 1−¹_x= 1

)

=⇒

(quotient)

x→+∞lim

−2−¹_x+_x²2

1−¹_x =−2 et comme lim

x→+∞x = +∞, par produit de limites, on obtient

x→+∞lim f(x) =−∞

• On prouve de même que lim

x→−∞f(x) = +∞

• Lorsquextend vers 1 par valeurs inférieures :

xlim→1−2x²−x+ 2 =−1

x→1lim x−1 = 0

)

=⇒ (quotient)

x→1lim f(x) =on ne peut pas conclure , or lorsquex <1,x−1<0 donc

par opérations sur les limites, lim

x→1x<1

f(x) = +∞

• On prouve de même que lim

x→1 x>1

f(x) =−∞

(4)

2. Représentation graphique deCf :

-20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

y y=f(x)

y=−2x−3 1

O 1

Pour toutx6= 1,f(x)−(−2x−3) = −2x²−x+ 2

x−1 + 2x+ 3 = −2x²−x+ 2 + (2x+ 3)(x−1)

x−1 =− 1

x+ 1 Rapidement, on prouve que lim

x→−∞f(x)−(−2x−3) = lim

x→−∞− 1

x+ 1 = 0, ce qui prouve que la droite d’équation y=−2x−3 est asymptote oblique à la courbe def en +∞. On constate la même chose au « voisinage » de−∞.