ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 9 - A
1 mars 2021
Exercice I.
On considère les fonctionse1, e2, e3ete4définies par :
∀x∈R∗+, e1(x) =x, e2(x) =x2, e3(x) =xln (x) et e4(x) =x2ln (x). On noteEl’espace vectoriel engendré pare1, e2, e3ete4.
1. On suppose dans cette question quea, b, cetdsont 4 réels tels que : (*) ∀x∈R∗+, ax+bx2+cxln (x) +dx2ln (x) = 0.
a. Montrer quea+b= 0.
b. Etablir que ∀x >1, a
xln (x)+ b ln (x)+ c
x+d= 0. En déduire qued= 0.
c. Etablir ensuite que ∀x∈R∗+, a
x+b+cln (x)
x = 0. En déduire queb= 0.
d. Montrer finalement quea=b=c=d= 0.
2. a. Qu’a-t-on démontré à la question précédente ? b. Montrer que(e1, e2, e3, e4)est une base deE.
3. On noteul’application qui à toute fonctionfdeEassocie la fonctiong=u(f)définie par :
∀x∈R∗+, g(x) =xf0(x).
a. Montrer queuest une application linéaire.
b. Détermineru(e1), u(e2), u(e3)etu(e4). c. En déduire queuest un endomorphisme deE.
4. a. Donner la matriceAdeudans la base(e1, e2, e3, e4). b. DéterminerSp(A).
c. Montrer queuest un automorphisme deE.
d. uest-il diagonalisable ?
5. Soitn∈N. Vérifier que An =
1 0 n 0
0 2n 0 n×2n−1
0 0 1 0
0 0 0 2n
.
6. Soit la fonctionf définie surR∗+par f(x) =x 1−x
3
(ln(x)−2). a. Vérifier quef ∈E.
b. Soitx >0. Déterminer (u8(f))(x).
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1 mars 2021
Exercice II.
On considère la suite(un)n≥0définie par :
u0= 0, u1= 1 et ∀n∈N, un+2=un+1+un, et on notef la fonction définie surR2par :
∀(x, y)∈R2, f(x, y) = 2x3−6xy+ 3y2−6y.
On pose enfinϕ=1 +√ 5 2 .
1. Vérifier queϕ >1et que les réelsϕet −1
ϕ sont les solutions de l’équation :x2−x−1 = 0.
2. a. Montrer quefest de classeC2surR2. b. Déterminer les points critiques def.
c. Calculer les dérivées partielles secondes, et étudier la nature des points critiques def. 3. Montrer que ∀n∈N, unun+2−u2n+1= (−1)n+1.
4. a. Recopier et compléter la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un entiern≥2, elle calcule et renvoie la valeur du termeunde la suite(un)n≥0.
function u=suite(n) v=...
w=...
for k=...
...
...
...
end u=...
endfunction
b. Justifier qu’il existe des réelsλetµ, que l’on déterminera, tels que :
∀n∈N, un =λϕn+µ −1
ϕ n
.
c. En déduire que la suite un+1
un
n≥1
converge et déterminer sa limite
5. On considère, pourn∈N∗, Sn=
n
X
k=1
(−1)k ukuk+1.
a. Montrer, sans chercher à calculer de somme, que la série de terme général 1 unun+1
converge.
b. En déduire que la suite(Sn)n≥1converge.
c. Montrer que ∀n∈N∗, Sn+1−Sn= un un+1
−un+1 un+2
.
d. Montrer que ϕ= 1−
+∞
X
k=1
(−1)k ukuk+1.
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1 mars 2021
Exercice III.
On désigne parnun entier naturel supérieur ou égal à2.
SoitXune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le segment[0;θ], oùθ(theta) désigne un réel strictement positif.
1. On notef une densité deX,Fsa fonction de répartition,E(X)son espérance etV(X)sa variance.
a. Rappeler l’expression explicite deF(x)en fonction dexetθ. b. Donner les valeurs deE(X)etV(X).
Dans la suite, on suppose que le réelθ est inconnu et on en propose deux estimateurs. Pour construire ces esti- mateurs, on dispose d’un échantillon(X1, ..., Xn)de la loi deX, ce qui signifie que X1, . . . , Xn sontnvariables aléatoires, définies sur le même espace probabilisé(Ω,A, P), mutuellement indépendantes et de même loi queX.
2. On poseYn= max(X1, X2, . . . , Xn)et on admet queYnest une variable aléatoire, elle aussi définie sur(Ω,A, P).
a. On rappelle qu’enScilab, la commandegrand(x,y,’unf’,a,b)simulex×y variables aléatoires indé- pendantes suivant toutes la loi uniforme sur [a;b]. Écrire des commandes Scilab permettant d’entrer les valeurs des variables qui sont nécessaires et de simulerYn.
b. On note Fn la fonction de répartition deYn. Pour tout réelx, écrireFn(x)à l’aide deF(x)puis déterminer explicitementFn(x).
c. En déduire queYnest une variable aléatoire à densité, puis donner une densitéfndeYn. d. Montrer queYnest un estimateur asymptotiquement sans biais deθ.
e. Calculer le risque quadratique deYn. Cet estimateur est-il convergent ? 3. On pose maintenantZn= 1
n
n
X
i=1
Xi. DéterminerE(Zn)puis proposer un estimateurZcn, construit de façon affine à partir deZn, et qui soit un estimateur sans biais deθ.
4. On considère, dans cette question, une variable aléatoireT suivant la loi exponentielle de paramètre 1
θ et on pose Y =−T. Déterminer la fonction de répartition, que l’on noteraFY deY.
5. a. Justifier que, pour tout réelxpositif ou nul, on aP(n(Yn−θ)6x) = 1.
b. Montrer que, pour tout réelxstrictement négatif et pour tout entier naturelnsupérieur à−x
θ, on a l’égalité P(n(Yn−θ)6x) =
1 + x nθ
n
c. Établir enfin quen(Yn−θ)converge en loi vers la variable aléatoireY. 6. a. Justifier queZcn= 1
n
n
X
i=1
(2Xi), oùZcnest l’estimateur présenté à la troisième question.
b. On pose Zcn
∗ = √
nZcn−E(2X)
pV(2X) . En appliquant le théorème limite central à la suite de variables aléatoires (2Xn)n∈N∗, montrer queZcn∗converge en loi vers une variable aléatoireZdont on précisera la loi.
c. Vérifier que Zcn
∗ = √
3n Zcn
θ −1
!
et en déduire un intervalle de confiance asymptotique de niveau de confiance95%pourθutilisantZcn.
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