ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 1
23 septembre 2019
Exercice I.
Soitn∈N∗et(ai)16i6nune famille de réels positifs. Montrer par récurrence que
n
Y
i=1
(1 +ai)>1 +
n
X
i=1
ai.
Exercice II.
Pourn∈N∗etx∈R, on note Pn(x) =
n
Y
k=1
1 +x
k
.
1. Que valentPn(0),Pn(1)etPn(−n)? 2. Démontrer que ∀x6= 0, Pn(x) = x+n
x Pn(x−1).
3. Pourp∈N∗, écrirePn(p)comme une combinaison.
Exercice III.
Soitn∈N∗. On considère, pour toute matriceAdeMn(R), les ensembles : E1(A) ={M ∈ Mn(R)|AM=M} et E2(A) =
M ∈ Mn(R)|A2M =AM . 1. Montrer queE1(A)est un sous-espace vectoriel deMn(R).
On admet pour la suite de l’exercice queE2(A)est aussi un sous-espace vectoriel deMn(R). 2. a. Etablir que E1(A)⊂E2(A).
b. Montrer que, siAest inversible, alorsE1(A) =E2(A). 3. a. Etablir que, siA−I3est inversible, alorsE1(A) ={0n}.
b. Soit B=
−1 1 0
0 −1 1
0 0 2
. DéterminerE1(B)etE2(B).
Exercice IV.
On travaille dans l’e.v. E=C0([0,1]), ensemble des fonctions continues sur[0,1]et à valeurs réelles.
On considère la famille F ={f1, f2, f3, f4}, où f1(x) = 1, f2(x) =x, f3(x) =x2−1 et f4(x) =x3+ 2x, ainsi que le s.e.v. F =V ect(F) deE.
1. Montrer que la familleFest une base deF.
2. Est-ce aussi une base deE? Justifier.
3. Montrer que F =R3[X].
4. Déterminer la matrice de passage de la base canonique deR3[X]à la baseF.
5. En utilisant cette matrice, déterminer les coordonnées dans la baseFdu polynômeP défini par P(x) = 2x3−5x2+x−7.
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23 septembre 2019
Exercice V.
On considère la fonctionf définie surR+par f(x) =
x2
ln(x)
si x >0
0 si x= 0
.
On donne ln(2)'0.69, 1
√e '0.61 et 1 e '0.37 1. a. Calculer f(1).
b. Vérifier que l’on peut aussi écrire f(x) =
x2ln(x) si x>1
−x2ln(x) si 0< x <1 .
2. a. Justifier brièvement la continuité defsurR∗+. b. Calculer lim
x→0+f(x). Que peut-on en déduire ? 3. a. Montrer que f0(x) =
x 1 + 2 ln(x)
si x >1
−x 1 + 2 ln(x)
si 0< x <1 .
b. f est-elle dérivable en0? Si oui, préciserf0(0). c. Montrer que fg0(1) =−1 et fd0(1) = 1. d. f est-elle dérivable en1? Justifier.
4. Etudier les variations def.
5. f admet-elle un maximum global ? Expliquer.
6. a. Calculerf00(x), lorsque le réelxle permet.
b. Etudier le signe def00, puis la convexité def.
7. Justifier le fait que l’équation f(x) = 1 admette exactement une solution surR+, et la localiser.
8. Tracer l’allure deCf.
9. Créer un programme Scilab permettant de tracer le graphe defsur[0; 5].
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