ECE 2 MATHEMATIQUES Devoir Maison 2
16 octobre 2020
groupe "ESSEC" : exercices II à V obligatoires
groupe "classique" : exercices I, II, V obligatoires, et au choix : III ou IV
Exercice I.
Vérifier que l’application suivante est linéaire, et déterminer son noyau et son image.
f : M4,1(R) −→ M2(R)
x y z t
7−→ x+y y−2z t+ 3z 0
!
Exercice II.
Donner un équivalent simple, et calculer la limite de la suite(un)n∈N, où un =en1+ln(1−1n)−1 1−q
1−n+11 .
Exercice III.
SoitEl’ensemble des matricesMa,b=
a b b b a b b b a
avec(a, b)∈R2.
1. Montrer queEest un espace vectoriel, dont on déterminera la dimension.
2. Vérifier que le produit de deux élément deEest encore dansE.
3. SoitJ =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. Montrer que ∀n∈N∗, Jn= 3n−1J.
4. Soit(a, b)∈R2, etn∈N. En utilisant la formule du binôme, vérifier que Ma,bn = (a−b)nI3+1
3((2b+a)n−1)J.
Exercice IV.
Soitn∈N?. On considère l’application définie surRn[X]par ∀(a0, a1, ..., an)∈Rn+1, f
n
X
k=0
akXk
!
=
n−1
X
k=0
ak+1Xk.
1. Montrer quef est un endomorphisme deRn[X].
2. Déterminer la matrice def relativement à la base canoniqueBdeRn[X]. 3. Déterminer le rang def, ainsi qu’une base de l’image def.
4. Déterminer le noyau def.
5. Montrer que la famille(Id, f, f2, ..., fn)est une famille libre deL(Rn[X]).
(Id=f0étant l’application identité deRn[X].)
Exercice V.
Soit la fonctionfdéfinie sur]0; 1[par f(x) =
√1−x ln(1−x2)
x .
1. Justifier brièvement le fait quefest de classeC1sur]0; 1[. 2. Rappeler lim
x→0+xαln(x), pourα >0. En déduire lim
x→1f(x).
3. Déterminer un développement limité à l’ordre2en0def.
4. En déduire quefest prolongeable par continuité en0. Le prolongement obtenu est-il dérivable en0? Justifier.
5. Donner l’équation de la tangente en0, ainsi que la position de la courbe par rapport à celle-ci.
ECE 2 1/1 Lycée François Couperin
