ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 11 6 mai 2019
Exercice I.
(DS5≤7) Calculer l'intégrale I=Z 3 1
dt
t(1 + ln(t)). (On poserau= ln(t).)
Exercice II.
(DS5>7) Calculer l'intégrale J =Z 2 1
dt
et−1. (On poserau=et−1. On eectuera aussi une décomposition en éléments simples.)
Exercice III.
Soit X ,→U([[1;n]]) et Y ,→B(n, p). Calculer, si possible, f(t) =E(e−tX) et g(t) =E(e−tY).
Exercice IV.
(DS5≤7)1. a. Montrer queF =
x y z t
∈ M4,1(R)
x+ 2y−z−3t= 0
est un espace vectoriel.
b. En donner une base et la dimension.
2. La famille
1 1
−2
,
1 2
−1
,
2
−1 1
est-elle une base deM3,1(R)? Justier.
Exercice V.
(DS5>7)1. On considère l'espace vectorielR2[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
a. Donner sa base canoniqueB.
b. Montrer que la familleF ={1;X−1; (X−1)2}est une base deR2[X].
c. Calculer les coordonnées du polynômeP déni parP(X) =X2+ 3X dans cette base.
2. La famille
1
−1
−2
,
−1 2
−1
,
2
−1
−3
est-elle une base deM3,1(R)? Justier.
Exercice VI.
(facultatif) Feuille 18. Ex XIIIOn a vu que ∀n∈N∗, P(X =n) = p2
√∆ xn−11 −xn−12 , avec x1= q+√
∆
2 , x2= q−√
∆
2 , et ∆ =q2+ 4pq. Calculer et simplier V(X).
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