ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 4h 28 mars 2018
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
Rappeler la dénition d'une probabilité sur un espace inni (Ω,A, P).
Exercice I.
La fonctionf dénie sur[0; 1[ par f(x) =
x
ln(x) six∈]0; 1[
0 si x= 0
est-elle dérivable en 0? Justier.
Exercice II.
Dériver la fonctionG dénie sur R∗+ par G(x) = Z x2
x
ln(t)
t2 dt, et simplier G0(x).
Exercice III.
Calculer les intégrales suivantes :
(On justiera uniquement l'existence de la première.) 1. I =
Z 2
−1
3t2+t−1 dt 2. J =
Z 1 0
3 (4t+ 1)3dt 3. K =
Z x 0
te−2tdt
Exercice IV.
Etudier les variations de la suite(In)n∈N, dénie par In= Z 1
0
tn 1 +tdt.
Exercice V.
On pose, pour n∈N∗, un= 1
(n+ 1)(n+ 3). On considère la série X
n≥1
un.
1. Vérier que ∀n ∈N∗, un = 1 2
1
n+ 1 − 1 n+ 3
.
2. Exprimer la ne somme partielle Sn, et vérier que Sn = 1 2
5
6− 2n+ 5 (n+ 2)(n+ 3)
. 3. La série est-elle convergente ? Si oui, calculer sa somme.
1/3
Exercice VI.
On considère une suite de lancers d'un dé équilibré à 6 faces.
On souhaite savoir si le 6 va apparaitre, et avec quelle probabilité il apparaitra avant le 4 ou le 5.
On dénit les évènements :
Ak = {Le ke lancer donne un 6 },
Bk = {Le ke lancer donne un 4 ou un 5 } Ck = {Le ke lancer donne un 1, un 2 ou un 3 }
Dn = {Le 6 apparait pour la 1ere fois au ne lancer, sans que ne soient apparus avant le 4, ni le 5 } 1. Pour n ∈N∗, exprimerDn en fonction d'évènements élémentaires.
2. Montrer que ∀n ∈N∗, P(Dn) = 1 6 × 1
2n−1. 3. Calculer P [
n∈N∗
Dn
!
, et conclure.
Exercice VII.
Deux joueurs A et B s'arontent dans un jeu à plusieurs manches.
Le premier joueur à remporter 2 manches consécutives remporte le jeu.
On suppose que sur une manche donnée, le joueur A s'impose avec probabilité p∈]0; 1[, et le joueur B avec probabilitéq = 1−p.
On dénit les évènements :
Ak = {Le joueur A remporte la ke manche}, Bk =Ak= {Le joueur B remporte la ke manche},
En= {Le joueur A remporte la partie à l'issue de la ne manche}
1. Exprimer E2n et E2n+1 en fonction des évènements (Ak)k∈N∗ et(Bk)k∈N∗. 2. En déduire que ∀n ∈N∗, P(E2n) =pn+1qn−1 et P(E2n+1) = pn+1qn. 3. Décrire par une phrase simple l'évènement E =
+∞
[
n=1
En. 4. Vérier que P(E) = p2(1 +q)
1−pq .
5. Application numérique : que vaut-elle pour p= 1 4?
2
Exercice VIII.
Soit la fonctionf dénie sur Rpar f(x) =
e−x12 =exp(−1/x2) six6= 0
0 six= 0
On rappelle la formule de dérivation (eu)0 =u0eu. 1. Expliquer pourquoi f est de classe C∞ surR∗. 2. a. Calculer lim
x→0
x6=0
f(x).
b. Que peut-on en conclure ? 3. a. Pour x6= 0, calculer f0(x).
b. Vérier que f est dérivable en 0, et donner f0(0). 4. a. Montrer que ∀x6= 0, f00(x) = 2
x4 × 2−3x2 x2 e−x12. b. Etudier alors la convexité de f sur R.
5. a. Montrer par récurrence que ∀n ∈N, ∃Pn ∈R[X] / ∀x6= 0, f(n)(x) = Pn 1x e−x12. b. f est-elle de classe C∞ sur R? Justier.
Exercice IX.
Soit f une fonction de classe C1 sur un intervalle [a;b]. Soit I =
Z b a
f(t)dt et Sn= b−a n
n−1
X
k=0
f(xk), où ∀k∈[[0;n−1]], xk =a+kb−a n . 1. Justier le fait que f0 est bornée sur [a;b]. On pose alors M = max
t∈[a;b]|f0(t)|. 2. Montrer que I =
n−1
X
k=0
Z xk+1
xk
f(t)dt.
3. Calculer la longueur de l'intervalle [xk;xk+1]. 4. Vérier que Z xk+1
xk
f(xk)dt= b−a n f(xk). 5. En déduire que I−Sn=
n−1
X
k=0
Z xk+1
xk
(f(t)−f(xk))dt.
6. Montrer que ∀t ∈[xk;xk+1], |f(t)−f(xk)| ≤M|t−xk| ≤Mb−a n . 7. En déduire que
I−Sn
≤ M(b−a)2
n .
8. Quelle valeur de n est nécessaire pour être sûr d'obtenir une approximation à10−3 près de l'in- tégrale J =
Z 1 0
et2dt? (On pourra commencer par déterminer M. On donne e'2.7183) 9. Créer un programme scilab, calculant une valeur approchée de J.
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