ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 3 - Concours Blanc 1 - durée : 4h 21 janvier 2014
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition de deux évènements A etB indépendants.
2. Donner la dénition d'une fonction strictement croissante sur un intervalle I.
Exercice I.
On considère les suites (un)n∈N et (vn)n∈N dénies par u0 =v0 = 1 et :
∀n∈N,
un+1 = 2
3un+ 1 2vn
vn+1 = 1
3un+ 1 2vn
1. Montrer que ∀n∈N, un+vn = 2.
2. On dénit la suite (wn)n∈N par ∀n ∈N, wn=vn− 4 5.
a. Montrer que (wn)n∈N est géométrique. (On utilisera notamment la question 1.) b. En déduire le terme général de la suite (wn)n∈N.
c. Déterminer alors (vn)n∈N en fonction de n. d. En déduire que ∀n ∈N, un= 6
5− 1 5 ×
1 6
n
.
3. Déterminer la limite de chacune des suites (un)n∈N et(vn)n∈N. 4. Calculer la somme S =
10
X
k=1
uk.
5. Créer un programme Scilab qui demande un entiern à l'utilisateur, puis calcule et ache un et vn.
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Exercice II.
Les formules littérales du cours devront apparaître clairement dans les calculs.
On lance trois fois successivement un dé équilibré, classique à six faces numérotées de 1 à 6.
On considère les évènements suivants : A= {le premier lancer donne un 6 }
B = {les deuxième et troisième lancers donnent un 6 } C = {les trois lancers donnent le même numéro}
1. Déterminer quels évènements sont indépendants, en les prenant 2 à 2.
2. A, B etC sont-ils indépendants (dans leur ensemble) ?
Exercice III.
Les formules littérales du cours devront apparaître clairement dans les calculs.
Une urne contient au départ deux jetons rouges et un jeton bleu.
On eectue des tirages dans l'urne de la façon suivante :
si le jeton tiré est rouge, on le remet dans l'urne avec un autre jeton rouge.
si le jeton tiré est bleu, on le remet dans l'urne avec deux autres jetons bleus.
On note, pour k∈N∗, Bk = {Le ke jeton tiré est bleu}.
1. Calculer P(B1), montrer que P(B2) = 11
30, et calculerP(B3).
2. Sachant que le deuxième jeton tiré est bleu, quelle est la probabilité que le premier jeton tiré ait été bleu ?
3. Sachant que le deuxième jeton tiré est rouge, quelle est la probabilité que le troisième jeton tiré soit bleu ?
2
Problème.
Partie A.
Soit g la fonction dénie sur R+ par g(x) =ex(2−x)−2. On donne e'2.7
1. Calculer g(0). 2. Calculer lim
x→+∞g(x).
3. Justier brièvement la continuité de g surR+. 4. Montrer que ∀x≥0, g0(x) = ex(1−x). 5. En déduire le tableau de variations de g.
6. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution non nulle, que l'on notera α. 7. En déduire le signe de g surR+.
Partie B.
Soit f la fonction dénie sur R∗+ par f(x) = x2 ex−1. 1. Justier brièvement la continuité de f surR∗+. 2. f est-elle prolongeable par continuité en 0? Justier.
3. Calculer lim
x→+∞f(x).
4. Montrer que ∀x >0, f0(x) = xg(x) (ex−1)2. 5. En déduire le tableau de variations de f. 6. Montrer que f(α) = α(2−α).
7. Tracer la courbe représentative de f sur l'annexe. (On donne α'1.6) Partie C.
On considère la suite (un)n∈N dénie par u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 =f(un). 1. Calculer u1.
2. Montrer par récurrence que ∀n∈N, 0< un ≤1. 3. Montrer que la suite (un)n∈N est décroissante.
4. Que peut-on déduire des questions précédentes ? Justier.
3
NOM : Prénom :
ANNEXE
4
