ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 4 - Concours Blanc 1 - durée : 4h 10 janvier 2017
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une fonction f continue à gauche en un pointa. 2. Enoncer la formule des probabilités composées.
Exercice I.
Les formules littérales du cours devront apparaître clairement dans les calculs.
On lance trois fois successivement un dé équilibré, classique à six faces numérotées de 1 à 6.
On considère les évènements suivants : A= {le premier lancer donne un 6 }
B = {les deuxième et troisième lancers donnent un 6 } C = {les trois lancers donnent le même numéro}
1. Déterminer quels évènements sont indépendants, en les prenant 2 à 2.
2. A, B etC sont-ils indépendants (dans leur ensemble) ?
Exercice II.
Les formules littérales du cours devront apparaître clairement dans les calculs.
Une urne contient au départ deux jetons verts et un jeton rouge.
On eectue des tirages dans l'urne de la façon suivante :
si le jeton tiré est vert, on le remet dans l'urne avec deux autres jetons verts.
si le jeton tiré est rouge, on le remet dans l'urne avec un autre jeton rouge.
On note, pour k∈N∗, Vk = {Le ke jeton tiré est vert}.
1. Calculer P(V1), montrer que P(V2) = 7
10, et calculerP(V3).
2. Sachant que le deuxième jeton tiré est vert, quelle est la probabilité que le premier jeton tiré ait été rouge ?
3. Sachant que le deuxième jeton tiré est vert, quelle est la probabilité que le troisième jeton tiré soit vert ?
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Exercice III.
On considère la suite (un)n∈N dénie par ∀n ∈N, un+1 =un+u2n. u0 est un réel quelconque.
On souhaite étudier la convergence de cette suite, suivant la valeur prise paru0.
On admet que si cette suite converge (ce qui dépend de u0), alors sa limite est solution de l'équation : (E) :x=x+x2.
1. Résoudre l'équation (E).
2. Montrer que la suite (un)n∈N est croissante.
3. Rappeler le théorème de la limite monotone.
4. Calculer u1 dans les cas où u0 = 0,u0 = 1, u0 =−1, u0 =−3, u0 =−1 2. 5. On suppose dans cette question que u0 = 0.
a. Montrer que ∀n ∈N, un = 0. b. Quelle est la limite de la suite ? 6. Qu'en est-il si u0 =−1?
7. On suppose à présent que −1< u0 <0. a. Montrer que ∀n ∈N, −1< un<0.
b. Déduire des questions précédentes que la suite (un)n∈N est convergente.
c. Quelle est sa limite ? Pourquoi ?
8. Pourriez-vous déterminer la limite de la suite (un)n∈N dans les cas oùu0 >0etu0 <−1? 9. a. Créer un programme Scilab demandant u0 à l'utilisateur, et calculant et achant
les100 premiers termes de la suite.
b. Quelle est la complexité de ce programme ?
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Problème.
Partie A.
Soit la fonctiong dénie sur R∗+ par g(x) = 1 + (1−x) ln(x). 1. Calculer g(1).
2. Calculer lim
x→0+g(x) et lim
x→+∞g(x). 3. Pour x >0, calculer g0(x).
4. Montrer que ∀x >0, g00(x) = − x+ 1 x2 .
5. En déduire que g0 est strictement décroissante sur R∗+.
6. En déduire ensuite que g0 s'annule exactement une fois sur R∗+, en l'abscisse1. 7. Déterminer le tableau de variations de g surR∗+.
8. Justier alors le tableau de signe de g, donné ci-dessous :
x 0 α β +∞
g(x) − 0 + 0 − Partie B.
Soit la fonctionf dénie sur R par f(x) =
xln|x|
e|x| , six6= 0 0 , six= 0
.
1. Rappeler la dénition de la fonction valeur absolue.
2. Pour x <0, écriref(x) sans valeur absolue.
3. Calculer f(1).
4. Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire graphiquement ? Partie C.
On admet que, sur R+, on a f(x) =
xln(x)
ex , six >0 0 , six= 0
.
1. Justier brièvement la continuité de f surR∗+. 2. f est-elle continue en 0? Justier.
3. Calculer lim
x→+∞f(x). Que peut-on en déduire graphiquement ? Partie D.
1. Montrer que ∀x >0, f0(x) = g(x) ex .
2. En déduire l'étude des variations de f sur R∗+. 3. Déterminer l'équation de la tangente à Cf en 1.
4. Sur l'annexe, tracer l'allure deCf surR, en faisant apparaitre les tangentes et asymptotes.
(On donne α'0.3, f(α)' −0.3, β '2.2 et f(β)'0.2.) 3
NOM : Prénom :
Annexe
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