ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 2 - durée : 4h 3 décembre 2014
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une racine d'un polynôme.
2. Qu'est-ce qu'un système de Cramer ?
3. Rappeler la limite obtenue par croissances comparées entre qn et nα, en précisant les valeurs que prennentq etα.
4. Enoncer le théorème de la limite monotone pour les suites.
5. Quand dit-on que deux ensembles A etB sont disjoints ?
Exercice I.
1. Le polynôme P, déni par P(X) =X3−5X2−8X+ 1, admet-il pour racine le réel 6? 2. Résoudre le système linéaire suivant :
(S) :
−3x+ 6y=−1 5x−7y= 2
Exercice II.
1. En utilisant les formules du cours, calculer la somme S=
9
X
n=1
2− n
2 + 3 2n
. (On rappelle, si nécessaire, que 210 = 1024.)
2. Calculer la limite de la suite (un)n∈N lorsque un=en−3n+n2.
Exercice III.
1. Créer un programme Scilab calculant la somme S =
n
X
k=1
ln(k) k2 − ek
2k
.
2. Déterminer le complexité du programme précédent : on déterminera séparément le nombre d'aectations et d'opérations.
(Sachant que l'appel à l'une des fonctions usuelles compte pour une opération.)
Exercice IV.
Les questions suivantes sont indépendantes :
1. Donner une partition de E = [[1; 7]] constituée d'au moins 3 sous-ensembles, tous de cardinaux diérents.
2. Dans une classe, deux options facultatives sont proposées. On sait que 18élèves suivent l'optionA et 13suivent l'optionB. Par ailleurs,7 de ces élèves suivent les deux options.
Combien d'élèves la classe peut-elle comporter ? Justier.
3. Déterminer I = \
n∈N∗
1
n; 2 + 1 n
.
1/2
Exercice V.
Soit (un)n∈N la suite dénie par un+1 = u2n
2 + 3un et u0 = 3. 1. a. Montrer que ∀n ∈N, un >0.
b. Etudier les variations de (un)n∈N. c. La suite est-elle convergente ? Justier.
2. a. Montrer que ∀n ∈N, un+1 ≤ un 3 . b. En déduire que ∀n ∈N, un≤ 1
3n−1.
3. En utilisant notamment les questions précédentes, déterminer alors la limite de la suite.
Exercice VI.
On considère la suite (un)n∈N dénie par :
u0 = 0, u1 = 1 et ∀n∈N, un+2 =un+1+ 6un−3n−2.
Un des objectifs de l'exercice est de déterminer son terme général.
On pose, pour n ∈N, tn=un− 1 2n− 5
12. 1. Montrer que ∀n∈N, tn+2 =tn+1+ 6tn. 2. Comment nomme-t-on ce type de suite ? 3. Déterminer son terme général tn.
4. En déduire alors que ∀n ∈N, un =− 4
15 ×(−2)n− 3
20×3n+n 2 + 5
12. 5. Déterminer la limite de la suite (un)n∈N.
6. Calculer la somme S =
5
X
n=0
un.
Exercice VII.
On considère le système suivant : (S)
λx−4y =−2
−x+λy = 1
1. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel λ ce système est-il de Cramer ? Justier.
Question supplémentaire (à traiter seulement si le reste est fait) : 2. Résoudre ce système en fonction de λ.
(Le résultat devra être simplié au maximum.)
2
