ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 4 - Concours Blanc 1 - durée : 4h 16 janvier 2018
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Enoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
2. Enoncer la formule des probabilités composées.
Exercice I.
On considère la fonction dénie surR par f(x) = 2x2−1 e2x . 1. Calculer f(0) et f(−1).
2. Résoudre l'équation (E) :f(x) = 0.
3. Justier brièvement la continuité de f surR.
4. Calculer lim
x→−∞f(x). 5. a. Calculer lim
x→+∞f(x). (x2 pourra éventuellement être mis en facteur.) b. Que peut-on en déduire graphiquement ?
6. Montrer que ∀x∈R, f0(x) = 2(−2x2+ 2x+ 1) e2x .
7. En déduire le tableau de signe de f0 et de variations de f.
8. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative Cf en0.
9. Sur l'annexe, où sont déjà placés les extrema locaux (points A et B), tracer les tangentes déterminées, puisCf.
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Exercice II.
On considère un jeu de 32cartes.
Il y a 4couleurs (trèe, pique, coeur, carreau), et 8 hauteurs (As, Roi, Dame, Valet, 10 ; 9 ; 8 ; 7).
On distribue une main de 3cartes.
En justiant convenablement les réponses : 1. Combien y a-t-il de mains possibles ?
2. Combien y a-t-il de mains constituées de 2 As exactement ? 3. Combien y a-t-il de mains avec au moins un As ?
4. Combien y a-t-il de mains comportant au moins 2 piques ?
5. Combien y a-t-il de mains constituées d'au moins un Roi et une Dame ?
Exercice III.
Dans un jeu télévisé, le naliste doit tirer une boule jaune pour remporter le gros chèque.
Il s'avance face à6 urnes indiscernables :
Une urne A contenant 7 boules jaunes et 3rouges.
Deux urnes de type B contenant 4boules jaunes et 6 rouges.
Trois urnes de type C contenant 1 boule jaune et 9 rouges.
Il choisit au hasard une urne, puis en extrait une boule.
On considère alors les évènements : A={le joueur choisit l'urne A},
B ={le joueur choisit l'une des urnes B}, C ={le joueur choisit l'une des urnes C}, J ={le joueur tire une boule jaune}, et R={le joueur tire une boule rouge} L'utilisation des formules littérales sera valorisé.
Partie A.
1. Traduire les données de l'énoncé en terme de probabilités.
2. En utilisant la formule des probabilités totales, vérier que P(J) = 3 10.
3. Le joueur vient de gagner la partie. Calculer la probabilité qu'il ait choisi l'urne A.
4. Le joueur vient de tirer une boule rouge. Calculer la probabilité qu'il ait choisi l'urne A.
Partie B.
Le joueur dispose maintenant d'une seconde chance en cas d'échec. Il peut eectuer un nouveau tirage dans l'urne choisie, sans remise de la boule précédente.
On numérotera maintenant les évènements élémentaires :R1,J1, R2, J2. 1. Décrire par une phrase concrète simple l'évènement G=J1∪(R1∩J2). 2. Calculer P(G).
3. En déduire l'eet de cette seconde chance.
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Exercice IV.
On considère la suite (un)n∈N dénie par u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 = un u2n+un+ 1. Partie A.
On admet que ∀n ∈N∗, 1
n+ 1 ≤ln(n+ 1)−ln(n). Montrer que ∀n∈N∗,
n
X
k=1
1
k ≤1 + ln(n). Partie B.
1. Montrer que ∀n ∈N, 0< un≤1. 2. Etudier les variations de la suite (un)n∈N.
3. En déduire que la suite (un)n∈N est convergente.
Partie C.
1. Vérier que ∀n ∈N, 1
un+1 =un+ 1 + 1 un. 2. Montrer par récurrence que ∀n∈N, 1
un ≥n+ 1.
3. En utilisant les deux questions précédentes, établir alors par récurrence que :
∀n∈N∗, 1 un
≤n+ 1 +
n
X
k=1
1 k.
4. En utilisant également la Partie A., justier que ∀n∈N∗, 1
un ≤n+ 2 + ln(n). 5. En déduire que ∀n ∈N∗, 1
n+ 2 + lnn ≤un ≤ 1 n+ 1. 6. Calculer alors lim
n→+∞un.
7. La suite (nun)n∈N est-elle convergente ? Justier, et si possible, donner sa limite.
8. Créer un programme Scilab qui calcule les termes de la suite (un)n∈N jusqu'à un indice n demandé par l'utilisateur.
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NOM : Prénom :
4
