ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 3 - durée : 2h 6 janvier 2016
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
1. Calculer lim
x→0−
ex−1 x2 .
Exercice II.
Les 3 questions sont indépendantes.
1. Calculer l'arrangement A313.
2. a. Enoncer la formule du binôme.
b. En utilisant la formule, calculer B = √
5−23 . c. En utilisant la formule, calculer C =
7
X
k=1
7 k
2k. 3. Dans un jeu de 52 cartes :
il y a4 couleurs (trèe, pique, coeur, carreau) et 13hauteurs (A,R,D,V,10, 9,...,2).
On distribue à un joueur une main de 2 de ces cartes.
Les réponses devront être précisément justiées.
Combien y a-t-il :
a. de mains possibles ? b. de paires d'as (deux as).
c. de paires (deux cartes de même hauteur) ? d. de mains contenant au moins un pique ?
e. de mains avec deux cartes qui se suivent (comme par exemple D−V) ?
Problème.
On considère la fonction f dénie par f(x) = ln(x) x . On donne e'2.7
1. Donner Df.
2. Calculer f(1) et f(e).
3. justier brièvement la continuité de f sur Df. 4. a. Calculer lim
x→0+f(x).
b. f est-elle prolongeable par continuité en 0? c. Calculer lim
x→+∞f(x).
d. Que peut-on déduire graphiquement des deux limites précédemment calculées ? 5. Montrer que ∀x >0, f0(x) = 1−ln(x)
x2 . 6. Résoudre l'équation 1−ln(x) = 0.
7. Etudier le signe de f0, et en déduire les variations de f surR∗+.
8. Combien l'équation f(x) = 0.1admet-elle de solutions ? Justier. Les localiser au mieux.
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