ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 1 - durée : 4h 8 octobre 2014
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Quelle est la diérence entre un maximum et un majorant de fonction ? 2. Qu'est-ce qu'une fonction périodique ?
3. Donner la dénition d'une suite décroissante.
4. Rappeler la signication de n!
Exercice I.
1. Calculer S =
8
X
k=2
1 k(k+ 1).
2. Etudier les variations de la suite (un)n∈N∗ dénie par un =
n
Y
k=1
k2 k2+ 1.
Exercice II.
1. Expliquer précisément le fonctionnement du programme suivant, et notamment celui des commandes en gras :
programme A.
function y=f(x) ; y=x∧2+3*x+5 ; endfunction ;
a=input('entrez un réel') ; disp(f(a)) ;
x=-a :0.01 :a ; y=f(x) ; plot(x,y) ;
2. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle l'ordinateur peut renvoyer la valeur4? Préciser.
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Exercice III.
Soit la fonctionf dénie sur R\ {4} par f(x) =x+ 2x+ 3
−x+ 4. Calculer A=f
−1 3
et B =f(1 +√ 2).
(On simpliera les résultats au maximum, et on écriraB sans racine carrée au dénominateur.)
Exercice IV.
Calculer (et simplier) g◦f, et préciser son ensemble de dénition, si : f(x) = −5x+ 7 et g(x) = −x2+x
3x−2 .
Exercice V.
Etudier les variations de la fonction f dénie sur R par f(x) = 1
ln(3 +e−x) en l'écrivant comme composée de fonctions élémentaires.
Exercice VI.
Résoudre dans Rles équations suivantes : 1. (E) : 4x
24 = 3−x
2. (F) : 2x5−7x3+ 3x= 0
Exercice VII.
Résoudre dans Rles inéquations suivantes : 1. (I) : |x2−3x+ 1|<1
2. (J) : 1
x−2 + x x+ 2 ≥1
(On pourra réduire au même dénominateur, et s'aider d'un tableau de signe.)
Exercice VIII.
Ecrire sans valeur absolue f(x) = |x| − |4−2x|.
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Problème.
On considère les fonctions g etf, dénies respectivement par : g(x) = ln(1 +x2) + 2x2
1 +x2 −2 et f(x) =xln(1 +x2)−2x. Partie A.
1. Déterminer l'ensemble de dénition de g etf. 2. Calculer g(0) etf(0).
3. Etudier la parité de g et f.
4. Résoudre dans R l'équation f(x) = 0. Partie B.
1. Montrer que ∀x≥0, g0(x) = 2x(3 +x2) (1 +x2)2 . 2. En déduire le sens de variation de g surR+.
3. On admet qu'il existe un unique réel α >0 tel que g(α) = 0. En déduire alors le tableau de signe de g surR+.
Partie C.
1. Montrer que f0 =g.
2. En déduire le tableau de variations de f surR+. Partie D.
1. On donne ln(2)'0.7 et ln(5)'1.6
Calculer, au dixième près,f(1), f(2), et montrer que f(3) '0.9 2. On donne aussi α'1.2 et √
e2−1'2.5
Sur l'annexe, tracer l'allure de la courbe représentative Cf de f sur[−4; 4].
3
NOM : Prénom :
Annexe
4
