ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 1 - durée : 4h 28 septembre 2016
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
Donner les dénitions de :
a. fonction croissante b. fonction impaire c. fonction bornée
Exercice I.
1. Expliquer le fonctionnement du programme suivant : function y=f(x)
y=-x∧3+4x+1 endfunction
a=input('entrez un réel') disp(f(a))
2. Existe-t-il des valeurs deapour lesquelles l'ordinateur peut renvoyer la valeur1? Préciser.
Exercice II.
1. Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre A= 4050. 2. Calculer B = 27+ 45
26×32.
3. Développer C =−3(3x−7)−(2x−5)2. 4. Factoriser D= 16−(2x−1)2.
Exercice III.
On considère les fonctions f et g dénies par f(x) = 3x−7
−5x+ 4 et g(x) =−4x−1. 1. Calculer f
−1 6
.
2. Déterminer l'expression de g◦f.
Exercice IV.
On considère la fonction f dénie par f(x) = ln(−3ex+ 1). 1. Déterminer Df.
2. Sans dériver, étudier les variations de f.
1/3
Exercice V.
Etudier la parité de la fonction f dans les cas suivants : 1. f(x) =
ex+ 1 ex−1
4
2. f(x) =−|x|
1 +|x|
Exercice VI.
Résoudre dans Rles équations suivantes : 1. (E) : 1
4
3x− 8 3
=−2 5x−6 2. (F) : 2e2x−3ex+ 1 = 0
Exercice VII.
Résoudre dans Rles inéquations suivantes : 1. (I) : ln(2x2+ 3) ≥5
2. (J) : 1
x − x
x−3 <−2 (On pourra s'aider d'un tableau de signe.)
Exercice VIII.
1. Calculer K =−| −3−2|.
2. Ecrire sans valeur absolue f(x) = | −5x+ 7|.
Problème.
On considère la fonction f, dénie par f(x) = (1−x2)√
7−x2, dont on note Cf la courbe représentative.
On donne, si nécessaire, √
2'1.4, √
3'1.7, √
5'2.2 et √
7'2.6 1. Montrer que Df =h
−√ 7;√
7i . 2. Calculer f(0), f(1), f(2) etf(√
7). 3. Etudier le signe de la fonction f. 4. a. Etudier la parité de la fonction f.
b. En donner une interprétation graphique.
5. a. Montrer que ∀x∈i
−√ 7;√
7h
, f0(x) = 3x(x+√
5)(x−√
√ 5)
7−x2 . b. En déduire le tableau de variations de f.
6. Déterminer l'équation de la tangente T1 àCf au point d'abscissex= 1. On admet que la tangente à Cf en x=√
7 est verticale, et que −2√
6' −4.9
7. En s'aidant de l'étude précédente (points, tangentes, etc...), tracer l'allure de Cf sur l'annexe.
2
NOM : Prénom :
Annexe
3
