ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 8 - Concours Blanc 2 - durée : 4h 7 juin 2016
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Qu'est-ce qu'une suite croissante ?
2. Enoncer la formule des probabilités totales.
3. Donner la dénition d'une fonction continue en un point.
Exercice I.
On considère la variable aléatoire X, dont une densité est la fonction f dénie par :
f(x) =
1
4(3−x), si 0≤x≤2
0, sinon
1. Vérier que f est bien une densité de probabilité.
2. Déterminer X(Ω).
3. Si possible, calculer E(X).
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Exercice II.
(Ecricome)Soit f la fonction numérique dénie sur Rpar f(x) = 1
√1 +x2.
On note Cf la courbe représentative def, relativement à un repère orthonormal (O;~i;~j). Partie A.
1. Montrer que la fonction f est paire surR.
2. Etudier les variations de f sur l'intervalle [0; +∞[. 3. Déterminer la limite de f en +∞.
4. Montrer que f est bornée sur R.
5. a. Montrer que f réalise une bijection de l'intervalle [0; +∞[ sur un intervalle J à préciser.
b. Pour toutyde l'intervalle]0; 1], déterminer l'unique réel xappartenant à l'intervalle [0; +∞[, tel quef(x) =y.
c. Déterminer alors la bijection réciproque f−1. Partie B.
On considère la fonction numérique F dénie par F(x) = ln(x+√
x2+ 1). 1. Montrer que ∀x∈R, x+√
x2+ 1>0. En déduire l'ensemble de dénition de F. 2. Montrer que F est une primitive de f surR.
3. Montrer que F est impaire sur son ensemble de dénition.
4. Déterminer la limite de F lorsque x tend vers +∞. 5. En déduire la limite de F quand x tend vers −∞. Partie C.
Soit (un)n∈N la suite de nombres réels déterminée par un = Z 1
0
xnf(x)dx. 1. a. Calculer u0 etu1.
b. Eectuer une intégration par parties et calculer u3. (On pourra remarquer que x3
√1 +x2 =x2 x
√1 +x2.) 2. a. Montrer que ∀n ∈N, un ≥0.
b. Montrer que la suite (un)n∈N est décroissante.
c. En déduire qu'elle est convergente. (On ne cherchera pas à calculer sa limite ici.) 3. a. Justier l'encadrement suivant : ∀x∈[0; 1], ∀n∈N, 0≤ xn
√1 +x2 ≤xn. b. En déduire que ∀n ∈N∗, 0≤un≤ 1
n+ 1. c. Déterminer alors la limite de la suite (un)n∈N.
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Exercice III.
(Ecricome)Dans tout cet exercice, N désigne un entier naturel supérieur ou égal à3.
On dispose de deux urnes opaques U1 et U2, d'apparence identique, et contenant chacune N boules indiscernables au toucher.
L'urne U1 contient (N −1)boules blanches et une boule noire.
L'urne U2 contient N boules blanches.
Partie A.
On eectue des tirages sans remise dans l'urne U1, jusqu'à l'obtention de la boule noire.
On note X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages nécessaires pour l'obtention de la boule noire.
On notera, pour tout i∈N∗, Bi ={leie tirage donne une boule blanche} etNi =Bi. 1. On simule 10000 fois cette expérience aléatoire.
Recopier et compléter le programme Scilab suivant pour qu'il ache l'histogramme don- nant la fréquence d'apparition du rang d'obtention de la boule noire :
N=input('donner un entier naturel non nul') A=[ ]
for k=1 :10000 n=1M=N
while ...
n=...
M=...
end A=[A ;n]
end
histplot(5,A)
2. On exécute le programme complété ci-dessus. On entre 5 au clavier et on obtient l'histo- gramme suivant :
Quelle conjecture pouvez-vous émettre sur la loi de la variable aléatoire X? 3
Pour les questions suivantes, on revient au cas général où N ≥3.
3. En écrivant soigneusement les événements utilisés, calculer P(X = 1), P(X = 2) et P(X= 3).
4. Déterminer la loi de la variable aléatoire X.
5. Préciser le nombre moyen de tirages nécessaires à l'obtention de la boule noire.
Partie B.
On choisit une des deux urnes au hasard (chaque urne a la même probabilité d'être choisie) et on tire dans l'urne choisie une par une les boules sans remise jusqu'à être en mesure de pouvoir connaître l'urne choisie.
On note Y la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages ainsi eectués.
On note Cj ={on choisit l'urne j}
1. Montrer que ∀j ∈[[1;N]], PC1(Y =j) = 1 N.
2. Calculer également PC2(Y =j), en distinguant les cas j =N et j < N. 3. Montrer que P(Y =j) =
1
2N, si j < N 1
2 + 1
2N, si j =N 4. Calculer l'espérance de Y.
Partie C.
On eectue une succession innie de tirages avec remise dans l'urne U1.
On admet qu'on obtient presque-sûrement au moins une boule blanche et au moins une boule noire lors de ces tirages.
On note T la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de tirages nécessaires jusqu'à l'obtention d'au moins une boule noire et d'au moins une boule blanche.
On noteU la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées jusqu'à l'obtention d'au moins une boule noire et d'au moins une boule blanche.
Par exemple, si les tirages ont donné successivement : noire, noire, noire, blanche, blanche, noire,... , alors T = 4 et U = 1.
1. Préciser les valeurs prises par T.
2. Montrer soigneusement que ∀k∈N, k ≥2, P(T =k) = 1 N
N −1 N
k−1
+N −1 N
1 N
k−1
. 3. Montrer que la variable aléatoire T admet une espérance que l'on calculera.
4. a. Calculer P([U = 1]∩[T = 2]).
b. Calculer P([U = 1]∩[T =k]), pour k ≥3. 5. Soit j un entier tel que j ≥2.
a. Calculer P([U =j]∩[T =j+ 1]).
b. Que vaut P([U =j]∩[T =k]), pour k≥3 etk 6=j+ 1. 6. Les variables aléatoires T etU sont-elles indépendantes ? 7. Calculer P(U = 1) puis déterminer la loi de U.
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