ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 6 - durée : 4 h 26 avril 2017 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
barème approximatif : un tiers des points pour chacune des 3 pages.
Cours.
1. Enoncer le théorème de transfert.
2. Rappeler la formule de Leibniz.
Exercice I.
SoitX la variable aléatoire dont la loi est donnée par le tableau :
x −2 1 3 4
P(X=x) 1 4
1 6
1 4
1 3
1. Vérier que ce tableau dénit bien une loi de probabilité.
2. Calculer E(X) et V(X). Exercice II.
1. Soitn∈N,p∈[0; 1], etX ,→B(n, p). CalculerE(X). 2. Soitλ >0 etX ,→P(λ). Calculer, pourt∈R,E etX
. Exercice III.
Calculer les sommes suivantes, en justiant brièvement la convergence des séries associées : 1. S=
+∞
X
n=1
2
n! , 2. T =
+∞
X
n=2
n−1 3n
Exercice IV.
Justier brièvement l'existence des intégrales suivantes, et les calculer : 1. I =
Z 1
0
dt
(1 + 4t)3 , 2. J = Z 3
−2
(t3−2t2+ 1)dt , 3. K = Z 3
1
t2ln(t)dt
Exercice V.
On considère la fonctionf dénie sur R∗+ par f(x) = (3x+ 2) ln(x). 1. Expliquer brièvement pourquoif est de classe C∞ surR∗+. 2. Montrer que ∀x∈R∗+, f00(x) = 3x−2
x2 . 3. Etudier alors la convexité de f surR∗+.
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Exercice VI. (extrait ESCP)
Soit g la fonction dénie surRparg(x) = Z 3x
x
e−t2dt.
1. Etudier la parité deg. (On pourra faire un changement de variable.)
2. Montrer queg est de classeC1 sur R, et que pour x∈R, g0(x) =e−x2(3e−8x2 −1).
(On pourra poser, si besoin, F(x) = Z x
0
e−t2dt.)
3. Résoudre l'inéquation (I) : 3e−8x2−1>0, et en déduire les variations de gsur R.
4. g est-elle de classe C∞ surR? Justier.
Exercice VII.
Soit, pour toutn∈N, un= Z 1
0
tn
1 +t2dt. On admet que u0 = π 4. 1. Montrer que ∀n∈N, 0≤un≤ 1
n+ 1. 2. En déduire lim
n→+∞un.
3. Pourn∈N, montrer que un+un+2 = 1 n+ 1. 4. On considère la somme partielle Sn=
n
X
k=0
(−1)k 2k+ 1. Vérier que Sn=u0+ (−1)nu2n+2.
5. En déduire la valeur de la somme
+∞
X
n=0
(−1)n 2n+ 1.
6. Créer un programme permettant d'obtenir une valeur approchée deπ.
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Exercice VIII. (EML)
Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches estp et la proportion de boules noires estq.
Ainsi, on a 0< p <1, 0< q <1 et p+q = 1.
Partie A. Tirages avec arrêt dès qu'une boule noire a été obtenue
Dans cette partie, on eectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête dès que l'on a obtenu une boule noire.
On noteT la variable aléatoire égale au nombre de tirages eectués et U la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
1. Reconnaître la loi deT, et donner, pour tout entierk≥1, P(T =k) . 2. Rappeler l'espérance et la variance deT.
3. En déduire queU admet une espérance et une variance. Déterminer E(U)etV(U). Partie B. Tirages avec arrêt dès qu'une boule blanche et une noire ont été obtenues
Da ns cette partie, on eectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête dès que l'on a obtenu au moins une boule blanche et une boule noire.
On noteX la variable aléatoire égale au nombre de tirages eectués.
On noteY la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
On noteZ. la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues.
Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l'événement [Y = 1]∪[Z = 1] est égale à1. On pose, pourk∈N∗, Bk={lake boule tirée est blanche}, et Nk=Bk.
1. a. Donner X(Ω).
b. Pourn≥2, exprimer [X =n]en fonction des évènements élémentaires (Bk)k∈N∗ et(Nk)k∈N∗. c. Montrer que ∀n≥2, P(X =n) =qpn−1+pqn−1.
d. Vérier que
+∞
X
n=2
P(X =n) = 1.
e. Montrer que la variable aléatoireX admet une espérance et que E(X) = 1 p +1
q −1. 2. a. Exprimer [X =k]∩[Y = 1] en fonction des évènements élémentaires.
(On distinguera les cas k= 2 et k≥3.)
b. Pour tout entierk≥2, déterminer P([X =k]∩[Y = 1]).
c. En déduire, en sommant sur l'indicek, que P(Y = 1) =q(1 +p). (question dicile) 3. Montrer que ∀k≥2, P(Y =k) =qpk.
4. a. En déduire que l'espérance de Y existe et vaut E(Y) = 1
q(1−p+p2). b. Combien vautE(Z)?
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