ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 1 - durée : 4h 30 septembre 2015
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Qu'est-ce qu'un minimum global ?
2. Donner la dénition d'une fonction périodique.
3. Soit f et g deux fonctions décroissantes.
Lorsqu'ils existent, que peut-on dire du sens de variation de leur somme, produit, com- posée ?
Exercice I.
Expliquer précisément le fonctionnement du programme suivant, et notamment celui des com- mandes en gras :
programme A.
function y=g(x) ; y=x∧2-exp(x) ; endfunction ;
n=input('entrez un entier naturel') ; disp(g(n)) ;
x=-n :0.001 :n ; y=g(x) ;
plot(x,y) ;
Exercice II.
Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre A= 2625.
Exercice III.
Etudier la parité des fonctions suivantes : 1. f(x) =
x4+ 3x2+ 1 x2−1
3
2. g(x) = 1−ex 1 +ex
1/4
Exercice IV.
Dans les cas suivants, calculer g◦f, et préciser son ensemble de dénition : 1. f(x) = ln(x)−1 et g(x) =−3x+ 2.
2. f(x) = 2x−4 et g(x) = −5x−2 3x+ 1 .
Exercice V.
Soit la fonctionf dénie sur R\
7
2
par f(x) = −3x+ 5 2x−7 −x. Calculer A=f
1
4
et B =f(2−√ 3).
(On simpliera les résultats au maximum, et on écriraB sans racine carrée au dénominateur.)
Exercice VI.
Résoudre dans Rles équations suivantes : 1. (E) : x4−7x2+ 5 = 0
2. (F) : ln(x2−3) =−5
Exercice VII.
Résoudre dans Rles inéquations suivantes : 1. (I) : 2−x
35 ≥ex 2. (J) : | −x2+ 9|>5 3. (K) : x
x−1+ 1 x <−1
(On pourra réduire au même dénominateur, et s'aider d'un tableau de signe.)
Exercice VIII.
Ecrire sans valeur absolue f(x) = x− |2x−6|.
2
Problème.
On considère les fonctions f et g, dénies par f(x) = ex−e−x
2 et g(x) = ex+e−x
2 .
On note Cf etCg les courbes représentatives des fonctions f et g. 1. Déterminer l'ensemble de dénition de f et de g.
2. Calculer f(0) et g(0).
3. Etudier la parité des fonctions f et g.
4. a. Montrer que la fonction g est strictement positive sur R.
b. Dériver f.
c. En déduire le tableau de variations de f. 5. a. Résoudre dans R l'équationf(x) = 0.
b. En déduire le signe def surR.
6. Etudier les variations de g.
7. Montrer que ∀x∈R, f(x)< g(x).
8. Déterminer l'équation de la tangente à Cf en l'origine.
9. On admet que e2 ≈7.39 ete−2 ≈0.13
a. Calculer, au centième près, les coordonnées du point d'abscisse 2sur les courbes de f etg.
b. Tracer l'allure deCf etCg sur l'annexe, en plaçant ces points, ainsi que les tangentes connues.
3
NOM : Prénom :
4
