ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 4 - durée : 4h 8 mars 2014
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Qu'est-ce qu'application surjective ? 2. Donner la dénition de matrice inversible.
3. Rappeler la dénition d'une probabilité sur un espace probabilisé inni.
4. Enoncer le théorème de comparaison pour la convergence des séries.
Exercice I.
1. Déterminer la nature de la série X
n≥2
1 ln(n)2. 2. Justier brièvement la convergence de la série X
n≥1
(−1)n+1
n! et calculer sa somme.
3. Créer un programme Scilab qui calcule et ache S =
50
X
n=1
(−1)n+1 n .
Exercice II.
On considère l'application f : M2(R) −→ M2(R) M 7−→ M2 . 1. Quelle est l'image de la matrice A=
1 1
−1 −1
? 2. L'application f est-elle injective ?
3. Déterminer les antécédents de B =
1 0 0 −1
. 4. Que peut-on déduire de la question précédente ?
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Exercice III.
Une urne contient 20jetons indiscernables : 1vert et 19rouges.
On eectue des tirages avec remise dans l'urne.
La partie se termine dès que le jeton vert est obtenu.
On considère, pour n∈N∗, les évènements : Vn = {Le jeton obtenu au ne tirage est vert}
En= {Le jeton vert apparaît pour la première fois au ne tirage}
On note pn =P(En). Partie A.
1. Pour n∈N∗, exprimerEn en fonction des(Vk)1≤k≤n. 2. Calculer p1 etp2.
3. Montrer que ∀n∈N∗, pn= 1 20
19 20
n−1
.
4. Décrire par une phrase simple l'évènement E = [
n∈N∗
En? 5. Calculer P(E).
6. Quelle est l'interprétation de ce résultat ? Partie B.
Deux joueurs A et B eectuent, chacun à leur tour, des tirages avec remise dans l'urne.
A commence. A eectuera donc les tiragesno1,3,5, ..., et B les tirages no2,4,6, ...
Le premier joueur obtenant le jeton vert gagne la partie, et le jeu se termine à cet instant.
On conserve les notations de la Partie A.
1. Décrire par une phrase simple l'évènement A= [
n∈N
E2n+1. 2. Montrer que P(A) = 20
39. 3. A qui le jeu est-il favorable ?
4. Calculer la probabilité de gagner du joueur B.
2
Exercice IV.
Partie A.
On considère les matrices : M =
0 1 2 2 2 2 2 1 0
, P =
1 2 1
−2 0 2 1 −2 1
, Q= 1 4
1 −1 1 1 0 −1
1 1 1
et D=
0 0 0 0 −2 0 0 0 4
. 1. Déterminer les trois réels λ tels que la matrice M −λI3 ne soit pas inversible.
2. a. Vérier que Q=P−1. b. Vérier que M =P DP−1.
c. Montrer que ∀n ∈N∗, Mn =P DnP−1. d. Donner Dn sans calcul, puis expliciter Mn.
(indication : la 1ere colonne de Mn est 1 4
4n+ 2(−2)n 2×4n 4n−2(−2)n
.) Partie B.
Dans un pays, il y a3 chaines de télévision : la A, la B et la C. Des statistiques portant sur les 6mois précédents ont montré que :
-si une personne regarde la A un soir, elle choisit le lendemain la B ou la C au hasard.
-si une personne regarde la C un soir, elle choisit le lendemain la A ou la B au hasard.
-si une personne regarde la B un soir, elle choisit le lendemain la A avec probabilité 1 4, la B avec probabilité 1
2, ou laC avec probabilité 1 4.
Une personne achète un jour une télévision, et choisit de regarder la chaineA ce soir-là (numé- roté soir 0).
On notepn,qn etrn les probabilités pour que cette personne regarde respectivement les chaines A, B et C le ne soir, et on note Pn, Qn et Rn les évènements associés.
On dénit aussi la matrice colonne Xn=
pn qn rn
. 1. Donner X0.
2. Avec la formule des probabilités totales, exprimer pn+1,qn+1 etrn+1 en fonction depn, qn etrn.
3. Montrer que ∀n∈N, Xn+1 = 1 4M Xn. 4. En déduire que ∀n ∈N, Xn= 1
4nMn
1 0 0
. 5. Déterminer alors pn,qn et rn en fonction de n.
6. Calculer les limites quand n tend vers l'inni des probabilités précédentes.
7. Interpréter ces résultats.
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