ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 9 11 mars 2019
Exercice I.
(obligatoire) Partie A.Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule verte.
Deux joueursAet B eectuent, chacun à leur tour, des tirages successifs avec remise dans l'urne.
Acommence (Aeectuera donc les tirages no1,3,5,7..., etB les tiragesno2,4,6,8, ...).
Le premier joueur à tirer la boule verte a gagné, et le jeu se termine à cet instant.
On considère, pourn∈N∗, les évènements : Rn = {Lene tirage donne une boule rouge}
Vn= {Le netirage donne une boule verte}
Tn= {Le jeu se termine aune tirage}
On notepn=P(Tn).
1. Pour un entiern∈N∗, exprimerTn en fonction des (Rk)1≤k≤n et des(Vk)1≤k≤n. 2. Calculerp1,p2et p3.
3. Montrer que pour tout n∈N∗, pn= 2
3 n−1
1 3.
4. Quelle est la nature de la suite(pn)n∈N∗? Préciser ses éléments caractéristiques.
5. Décrire par une phrase simple l'évènement T =
+∞
[
n=1
Tn, et calculer sa probabilité.
6. Le jeu se termine-t-il ? Justier.
7. Calculer la probabilité queAgagne. Le jeu est-il équilibré ? Partie B.
B, trouvant que le jeu le désavantage, décide de modier une règle du jeu :
A chaque fois qu'un boule rouge est tirée, on la remet dans l'urne, et on rajoute en même temps une autre boule rouge dans l'urne.
Les autres règles ne sont pas modiées. On conserve les notations utilisées précédemment.
1. Calculerp1, puis, en utilisant la formule des probabilités composées,p2et p3. 2. Montrer que pour tout n∈N∗, pn= 2
(n+ 1)(n+ 2).
3. Le jeu se termine-t-il ? (on pourra calculer une somme téléscopique)
4. Calculer la probabilité queAgagne la partie au plus tard à sa4e tentative (donc à l'un des tirages1,3,5 ou7).
5. Le jeu est-il équilibré ? Partie C.
Le jeu se déroule toujours comme précisé dans la Partie B.
On admet que la série de terme général (−1)n
n est convergente, de somme
+∞
X
n=1
(−1)n
n =−ln(2)≈ −0.693au millième près.
Soit pourn∈N∗, l'évènement An= {Agagne en ayant eectué au plusn tirages}.
1. Montrer queP(An) =
n
X
k=1
2 (2k)(2k+ 1). 2. Vérier l'égalité 1
(2k)(2k+ 1) = 1 2k − 1
2k+ 1.
3. En déduire que la probabilité queAgagne la partie est 2 1−ln(2). 4. B a-t-il eu raison de modier les règles du jeu ?
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Exercice II.
(facultatif)Dans toute la suite de l'énoncé,nest un entier supérieur ou égal à3. Une élection comporte trois candidats notéA,B etC, etnvotants.
Tout candidat qui a obtenu au moins une voix est élu.
On suppose que chaque votant choisit un candidat au hasard, de façon équiprobable, et indépendamment du choix des autres votants.
Pourk∈[[1;n]], on considère les évènements :
Uk ={Après dépouillement desk premiers bulletins, exactement un candidat a obtenu des voix}, Vk={Après dépouillement des kpremiers bulletins, exactement deux candidats ont obtenu des voix}, Wk ={Après dépouillement desk premiers bulletins, les trois candidats ont obtenu des voix}.
On pose également uk =P(Uk), vk =P(Vk) et wk=P(Wk).
On dénit enn Am={Lemevotant a voté pour le candidatA}, pour1≤m≤n, et de la même manièreBmetCm. Partie A.
1. a. Préciser u1, v1 et w1. b. Justier les égalités u2=1
3, v2=2
3 et w2= 0.
2. a. A l'aide de la formule des probabilités totales, exprimer vk+1 en fonction de uk, vk et wk. b. Donner de même uk+1 et wk+1 en fonction de uk, vk et wk.
c. Vérier que
uk+1
vk+1
wk+1
=M
uk
vk
wk
, où l'on a M =
1
3 0 0
2 3
2 3 0 0 13 1
.
d. En déduire que
un
vn wn
=Mn−1
u1
v1 w1
. Partie B.
Soit la matrice A=
1 0 0 2 2 0 0 1 3
.
1. CalculerA2.
2. Montrer qu'il existe des suites réelles (ak)k∈[[1;n]], (bk)k∈[[1;n]] et (ck)k∈[[1;n]] telles que
∀k≥1, Ak =
1 0 0
ak 2k 0 bk ck 3k
et
ak+1 =ak+ 2k+1 bk+1 =bk+ 2ck ck+1 = 2ck+ 3k
3. a. Calculer de deux façons la somme
k−1
X
j=1
(aj+1−aj), et en déduire que ak = 2k+1−2.
b. De même, calculer de deux façons la somme
k−1
X
j=1
(cj+1 2j+1 −cj
2j), et en déduire que ck = 3k−2k. c. Prouver que bk= 3k−2k+1+ 1.
4. a. Exprimer la matriceM en fonction deA. b. En déduire que un= 1
3n−1, vn= 2n−2
3n−1 et wn = 1−2n−1 3n−1 . 5. a. Calculer les limites des suitesu,v etw.
b. Ces résultats étaient-ils prévisibles ? Justier.
6. A partir de quel nombrende votants est-on certain à 99.9% qu'au moins deux candidats sont élus ? (On donne ln(3000)
ln(3) '7.3)
2
