ECE 1 MATHEMATIQUES

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Surveillé 2 - durée : 4h 23 novembre 2016

Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Cours.

1. Donner une caractérisation d'une racine d'ordre k ∈N^∗ d'un polynôme.

2. Qu'est-ce qu'un système de Cramer ? 3. Enoncer le théorème des gendarmes.

Exercice I.

On considère la somme S =

20

X

k=2

k³ 21− k²

21−2

.

1. Calculer la somme S (en utilisant les formules du cours).

2. Créer un programme Scilab calculant cette somme (sans utiliser les formules du cours).

3. Déterminer la complexité du programme construit.

(On considérera pour simplier, à juste titre ou non, qu'élever à une puissance quelconque compte pour une seule opération.)

Exercice II.

Soit le polynôme P déni par P(X) = 2X³+ 7X²−12X−45. 1. Les réels suivants sont-ils racines de P : 896? −3? 2. Montrer que P peut être factorisé par (X+ 3)². 3. Factoriser P.

4. Résoudre l'équation (E) : 2

(x−1)³ + 7

(x−1)² − 12

x−1 −45 = 0.

Exercice III.

1. Résoudre le système (A) :

−5e^−x + 7y² = 10 8e^−x − 6y² = −3

2. Résoudre le système (B) :







−x+ 2y+ 2z = 3 2x+ 2y−z =−4 5x−4y−7z =−13

Exercice IV.

Calculer les limites des suites (u_n)n∈N^∗ dans les cas suivants : 1. u_n=eⁿ− 1

n

2. u_n=n² −5ⁿ+ ln(n)

1/2

Exercice V.

Soit u la suite vériant la relation ∀n∈N, u_n+2 =u_n+1.u²_n avec u₀ =e³ et u₁ =e. 1. Calculer u₂.

2. Montrer que ∀n∈N, u_n>0. On pose alors, pour n∈N, tn= ln(un).

3. Montrer que ∀n∈N, tn+2 =tn+1+ 2tn. 4. Comment nomme-t-on ce type de suite ? 5. Montrer que ∀n∈N, t_n= 1

3

4×2ⁿ+ 5×(−1)ⁿ . 6. En déduire un en fonction de n.

7. Calculer alors lim

n→+∞u_n.

8. En utilisant les formules classiques, calculer S =

9

X

k=1

t_k.

Problème.

On dénit deux suites (un)n∈N et(vn)n∈N par : u₀ = 3, v₀ = 5 et ∀n ∈N, u_n+1 = 2u_nv_n

u_n+v_n et v_n+1 = u_n+v_n 2 .

1. a. Démontrer par récurrence sur n∈N la propriété : "u_n >0 et v_n>0".

b. Soit n∈N. Montrer que v_n+1−u_n+1 = (v_n−u_n)² 2(v_n+u_n). c. En déduire que ∀n ∈N, u_n≤v_n.

d. Montrer que (u_n)n∈N est croissante, et que (v_n)n∈N est décroissante.

2. a. Montrer que ∀n ∈N, v_n+1−u_n+1 ≤ 1

2(v_n−u_n). b. Vérier alors que ∀n ∈N, 0≤v_n−u_n≤ 1

2ⁿ(v₀−u₀). c. En déduire lim

n→+∞(v_n−u_n).

3. Déduire des questions précédentes que les deux suites sont convergentes.

4. Montrer que la suite produit (u_nv_n)n∈N est constante.

5. En déduire alors la limite des suites (u_n)n∈N et(v_n)n∈N.

6. Dans le cas général, où u₀ >0 etv₀ >0sont quelconques, quelle est la limite des suites ? Justier.

2