ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 2 - durée : 4h 30 novembre 2013
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner les dénitions de : a. suite bornée,
b. ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme, c. système de Cramer.
2. Rappeler la formule de Poincaré pour 3 ensembles.
3. Enoncer et démontrer le théorème des gendarmes avec valeur absolue.
Exercice I.
Calculer les sommes suivantes, en utilisant les formules du cours : S =
25
X
k=1
k 4 −1
et Sn=
n
X
k=2
2 3k +k3
2
.
Exercice II.
1. Créer un programme Scilab qui : demande un entier n à l'utilisateur,
renvoie un message d'erreur si cet entier est inférieur à 2,
dans le cas contraire, calcule et renvoie la valeur de la somme Sn de l'exercice précé- dent (sans utiliser les formules du cours cette fois, et donc sans connaitre le résultat précédent).
2. Déterminer la complexité du programme précédemment construit, en fonction de n. (On déterminera séparément le nombre d'aectations et d'opérations.)
Exercice III.
Les questions suivantes sont indépendantes :
1. Donner une partition de E = [[1; 10]] constituée de 4 sous-ensembles de cardinaux dié- rents.
2. Soit E ={2; 5} etF ={1; 4; 5}. Déterminer les éléments de E×F. 3. Déterminer I = \
n∈N∗
−n; 1 n
.
Exercice IV.
Soit le polynôme P déni par P(x) =−x3+ 3x2−4x+ 12.
1. Montrer que 3 est racine deP, et déterminer son ordre de multiplicité.
2. Factoriser P.
3. Résoudre l'inéquation (E) :−e3x+ 3e2x−4ex+ 12≥0.
1/2
Exercice V.
Déterminer l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à2vériantP(1) =P0(2) = 1. (On pourra écrire P sous la forme P(x) = ax2+bx+c.)
Exercice VI.
Résoudre le système (S) :
4ex−2y2 = 1 3ex+ 7y2 = 2
Exercice VII.
Calculer, si elle existe, la limite des suites de terme général : un=n3−en, vn =n2−n√
n2−1 et wn = (−3)n−5n n+ 8 .
Exercice VIII.
On considère la suite (un)n∈N dénie par u0 = 0 et ∀n∈N, un+1 = 2−(−1)n un+n+ 1. 1. Calculer u1.
2. Montrer que ∀n∈N, un≥0. 3. Montrer que ∀n∈N∗, |un| ≤ 3
n. 4. En déduire la limite de la suite.
Exercice IX.
On considère la suite (un)n∈N dénie par
u0 >0 u1 >0
un+2 =u3n.u2n+1, pour n∈N 1. Montrer par une récurrence double que ∀n∈N, un >0.
On pose alors tn = ln(un), pour n ∈N.
2. Montrer que la suite (tn)n∈N vérie ∀n∈N, tn+2 = 3tn+ 2tn+1. 3. De quel type de suite s'agit-il ?
4. Déterminer alors, en fonction de u0 etu1, le terme général de la suite (tn)n∈N. 5. En déduire que ∀n ∈N, un =exp
3n
4 ln (u0.u1) + (−1)n 4 ln
u30 u1
. 6. a. Etudier la convergence de (un)n∈N en fonction des valeurs de u0 etu1.
b. Existe-t-il des couples(u0;u1)pour lesquels la suite n'admet pas de limite. Préciser.
Exercice X.
(à traiter en dernier) On considère le système (S) :λ2x +3y = 1
−λx +(1−2λ)y = 1
1. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel λ ce système est-il de Cramer ? 2. Résoudre (S) en fonction de la valeur deλ.
2
