ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 5 - durée : 4h 1 avril 2015
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une matrice inversible.
2. Qu'est-ce qu'une fonction de classe C1?
Exercice I.
Soit la fonctionf dénie sur R par f(x) =
e−x1 si x >0 x si x≤0 . On rappelle aussi que pour α >0, lim
X→+∞Xαe−X = 0. 1. Vérier que f est de classe C∞ surR∗+ etR∗−.
2. Montrer que f est continue en 0. Que peut-on en déduire ? 3. Montrer que ∀x >0, f0(x) = 1
x2e−1x, et calculer aussif0(x) pourx <0. 4. f est-elle dérivable en 0?
5. Etudier les variations de f sur R.
6. Montrer que ∀x >0, f00(x) = 1−2x x4 e−1x 7. Etudier la convexité de f surR.
Exercice II.
On dénit la suite d'intégrales (In)n∈N par In= Z 1
0
tne−tdt.
Les propriétés de l'intégrale utilisées dans l'exercice devront être citées.
1. Calculer I0.
2. a. Montrer que ∀n ∈N, In ≥0.
b. Etudier les variations, puis en déduire la convergence de la suite (In)n∈N. 3. a. Montrer que ∀n ∈N, In ≤ 1
n+ 1. b. En déduire la limite de la suite (In)n∈N.
4. a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que ∀n ∈N, In+1 = (n+ 1)In−1 e. b. En déduire, par récurrence sur n, que ∀n∈N, In =n! 1−1
e
n
X
k=0
1 k!
! .
c. Retrouver alors la valeur de
n
X
k=0
1 k!.
5. Créer un programme Scilab qui demande n à l'utilisateur, et calcule In. 1/3
Exercice III.
Les parties A. et B. peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A.
Deux joueurs A et B se partagent un capital deM e, où M ∈N.
Le capital de départ de A est den e, avec n ∈N (et donc celui de B deM −n e).
Ils jouent au jeu du Pile ou Face (ou à tout autre jeu pouvant être modélisé ainsi), et à chaque partie, le perdant donne 1 eau gagnant.
Le jeu se poursuit jusqu'à ce que l'un des deux joueurs soit ruiné.
On suppose que sur une partie donnée : A gagne avec probabilité p∈1
2; 1
(si le lancer donne Pile) B avec probabilité q = 1−p (si le lancer donne Face) On pose :
Pour n∈N, An="A ruine B, en partant avec un capital initial den e", et an=P(An). Pour k∈N∗, Pk ="Le ke lancer donne Pile" et Fk =Pk.
1. Expliquer brièvement pourquoi a0 = 0 et aM = 1.
2. En décomposant suivant le résultat du premier lancer, et en utilisant la formule des probabilités totales, exprimer an en fonction de an+1 etan−1, pour n ∈[[1;M −1]]. 3. En déduire que ∀n ∈[[0;M −2]], an+2− 1
pan+1+ q
pan= 0. 4. Quelle est la nature de la suite (an)0≤n≤M ?
5. Montrer qu'il existe deux réels α etβ tels que ∀n∈[[0;M]], an=α+β q
p n
. 6. Déterminer α et β à l'aide des conditions aux limites a0 etaM, et en déduire que
an =
1−
q p
n
1−
q p
M.
7. Sans refaire tous les calculs, mais en expliquant votre raisonnement, donner la probabilité bn queB ruine A.
(A partant toujours d'un capital de n e, etb de M −n e.) 8. Le jeu se termine-t-il ? Justier.
2
Partie B.
Le joueur A, disposant toujours d'un capital de n e, joue cette fois-ci contre un casino, dont on supposera pour simplier que le capital est inniment grand (ce qui n'est pas une hypothèse tellement surréaliste).
On suppose toujours que la probabilité de gagner du joueur A sur une partie est p > 1
2, et que q= 1−p.
1. Déterminer, en justiant, lim
M→+∞
q p
n
−
q p
M
1−
q p
M .
On admet pour la suite de l'exercice que le joueur A nit ruiné avec la probabilité : rn=
1−p p
n
. 2. Calculer lim
n→+∞rn.
3. Interpréter le résultat précédent.
4. Application numérique :
On donne ln(12)'2.48, ln(13)'2.56 et ln(10)'2.3 On suppose que le joueur gagne52% des parties qu'il dispute.
Quel est le capital minimalndont il doit disposer pour jouer, an que son risque de ruine rn soit inférieur à 1%?
3
