ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 4 - Concours Blanc 1 - durée : 4h 12 janvier 2016
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Qu'est-ce qu'une suite croissante ?
2. Enoncer la formule des probabilités totales.
3. Donner la dénition d'une fonction continue en un point.
Exercice I.
Parmi 20 dés cubiques, 16 sont équilibrés, et 4 sont truqués, de telle sorte que la probabilité d'obtenir 6 soit 1
2 et que les autres numéros aient une même probabilité d'apparaître.
On considère, si besoin, les évènements : T ={le dé est truqué}
D(ou D1) = {on obtient un deux au 1er lancer}
Sk={on obtient un six au ke lancer}, avec k ∈[[1; 2]]
Les réponses devront être justiées, et les formules littérales utilisées devront apparaitre dans les calculs.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir un 2sur un dé non truqué ? 2. Quelle est la probabilité d'obtenir un 2sur un dé truqué ? On prend un dé au hasard parmi les 20 et on le lance une fois.
3. Quelle est la probabilité d'obtenir 6?
4. On obtient 2. Quelle est la probabilité que ce dé ne soit pas truqué ? Le premier lancer a donné un 6. On lance une nouvelle fois le dé.
5. Quelle est la probabilité d'obtenir un nouveau 6?
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Exercice II.
On s'intéresse à l'indice des prix immobiliers d'une métropole.
Suite à l'observation d'un passé récent, on construit le modèle suivant : L'indice est en hausse actuellement (année 0).
Si l'indice est en hausse lors d'une année n, alors il le sera avec une probabilité 3
4 lors de l'annéen+ 1.
Si il est en baisse lors d'une annéen, alors il le sera avec une probabilité 2
3 lors de l'année n+ 1.
Pour n ∈N, on considère les évènements Hn ="l'immobilier monte l'année n" et Bn =Hn, ainsi que leur probabilités associées un =P(Hn) et vn=P(Bn).
1. D'après l'énoncé, que peut-on dire des évènements H0 et B0? Donner leur probabilité.
2. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
∀n∈N, un+1 = 3
4un+1
3vn et vn+1 = 1
4un+2 3vn. 3. Justier le fait que ∀n ∈N, un+vn= 1.
4. En déduire que ∀n ∈N, un+1 = 1 3+ 5
12un. 5. Quel type de suite est (un)n∈N?
6. Montrer que ∀n∈N, un= 4 7+ 3
7× 5
12 n
7. En déduire le terme général de la suite (vn)n∈N. 8. Calculer lim
n→+∞un et lim
n→+∞un.
9. Comment interpréter ces résultats ? Le modèle vous semble-t-il réaliste ?
Exercice III.
On considère la suite (Sn)n∈N∗ dénie par ∀n ∈N∗, Sn =
n
X
k=1
1 k2 = 1
12 + 1
22 +...+ 1 n2. 1. Calculer S1, S2, et vérier queS3 = 49
36.
2. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn)n∈N∗. 3. Vérier que ∀k ≥2, 1
k2 ≤ 1
k−1 − 1 k. 4. En déduire alors que ∀n ≥1, Sn ≤2− 1
n, puis que Sn ≤2.
5. Conclure alors que la suite (Sn)n∈N∗ converge, et encadrer au mieux sa limite.
6. Créer un programme Scilab qui demande un entier n à l'utilisateur et renvoie Sn.
2
Problème.
Partie A.
Soit le polynôme P déni par P(x) = 3x3−x−2. 1. Trouver une racine évidente de P.
2. Montrer que ∀x∈R, P(x) = (x−1)(3x2+ 3x+ 2). 3. En déduire toutes les racines de P.
4. Déterminer le signe de P surR.
Partie B.
Soit la fonctiong dénie par g(x) =x3−x+ 3−2 ln(x). 1. Déterminer Dg.
2. Montrer que ∀x >0, g0(x) = P(x) x . 3. En déduire le tableau de variations de g. 4. Vérier que min(g) = 3.
5. En déduire le signe de g surR∗+. Partie C.
On considère la fonction f dénie sur R∗+ par f(x) =x+ 1 + x−1 + ln(x) x2 . 1. Calculer f(1).
2. Justier brièvement la continuité de f surR∗+. 3. Calculer lim
x→0+f(x). 4. Que peut-on en déduire ? 5. Calculer lim
x→+∞f(x). Partie D.
1. Montrer que ∀x >0, f0(x) = g(x) x3 . 2. En déduire l'étude des variations de f.
3. Combien l'équation f(x) = 0 admet-elle de solutions ? Justier.
4. Montrer que la droite d'équation y=x+ 1 est asymptote oblique à Cf en +∞. 5. Déterminer l'équation de la tangente à Cf en 1.
6. Tracer l'allure de Cf sur l'annexe en faisant apparaitre les tangentes et asymptotes.
3
NOM : Prénom :
Annexe
4
