ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 1 - durée : 4h 4 octobre 2017
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une fonction minorée.
2. Rappeler la dénition de la fonction valeur absolue.
Exercice I.
Créer un programme Scilab qui :
comporte la fonction f dénie par f(x) = 3x5 −2x+ 4; demande un nombre réel a à l'utilisateur ;
ache le graphe de f sur[−a;a].
Exercice II.
1. Exprimer en fonction de √
5 : B =−3√
45 + 5√
80−3√ 20. 2. Développer C = 5(−x+ 3)2−3x(2x−1).
3. Factoriser D= (x−3)(−2x+ 7)−3(x−3).
Exercice III.
On considère les fonctions f et g dénies par f(x) = −4x+ 1
3x+ 5 et g(x) =−3x+ 2. 1. Déterminer l'expression de g◦f.
2. Déterminer l'expression de f ◦g.
Exercice IV.
Dériver la fonctionf dans les cas suivants : 1. f(x) =−4
3x6+1
4x2−3x+ 2 2. f(x) = xex 2x+ 1
Exercice V.
Etudier la parité de la fonction f dénie par f(x) =
ex−1 ex+ 1
2
.
1/3
Exercice VI.
Résoudre dans Rles équations suivantes : 1. (E) :
−3x2+ 4x+ 1
= 2
2. (F) : x4−5x2+ 6 = 0
Exercice VII.
Résoudre dans Rles inéquations suivantes : 1. (I) : e−2x+1 <3
2. (J) : x x+ 2 + 2
x ≥ −3 (On pourra s'aider d'un tableau de signe.)
Exercice VIII.
1. Déterminer l'expression de f sans valeur absolue, où f(x) =| −3x−2|. 2. Déterminer l'expression de g sans le ”max”, où g(x) =max(4x+ 3;x2+ 2x).
Problème.
On considère les fonctions f et g, dénies par f(x) = x+ ln(x4+ 3) et g(x) = 1 + 4x3 x4+ 3. Partie A.
1. Déterminer les ensembles de dénition Df et Dg. 2. Calculer f(−1), f(0) etf(√
3). 3. Etudier la parité de f.
4. Calculer g(−1).
5. Vérier que ∀x≥0, g(x)>0. Partie B.
1. Montrer que ∀x∈R, g0(x) = 4x2(3 +x2)(3−x2) (x4+ 3)2 .
2. En déduire les tableaux de signe de g0 et de variation de g surR.
3. Expliquer pourquoi il existe un réel α <0tel que g(α) = 0, avec α∈]−4;−3[. 4. En déduire alors le tableau de signe de g surR.
Partie C.
1. Montrer que f0 =g.
2. En déduire le tableau de variations de f surR.
3. Sur l'annexe, tracer l'allure de la courbe représentative Cf de f sur[−8; 2]. Pour aider au tracé, on donne :
f(−8)'0.3, α ' −3.9, f(α)'1.6, f(−1)'0.4, et f(2)'5. 2
NOM : Prénom :
Annexe
3
