ECE 1 MATHEMATIQUES
Concours Blanc 1 - durée : 4h 22 janvier 2013
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
1. Donner la dénition d'une série.
2. Qu'est-ce qu'une série convergente ?
3. Justier la convergence de la série correspondante, puis calculer la somme S =
+∞
X
n=1
3n 5n − 2n
n!
.
Exercice II.
On considère la suite (un)n∈N dénie par un+1 = 2un+n+ 1 et u0 = 1. 1. a. Montrer par récurrence que ∀n ∈N, un > n.
b. En déduire la limite de la suite (un)n∈N.
2. On considère la suite (wn)n∈N de terme général wn=un+n+ 2. a. Montrer que la suite (wn)n∈N est géométrique de raison 2. b. Exprimerwn en fonction de n.
c. En déduire alors que ∀n ∈N, un= 3×2n−n−2. 3. En utilisant les formules du cours, calculer la somme S=
8
X
k=2
uk .
4. Créer un programme informatique demandant un entier n, et calculant et achant un.
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Exercice III.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
Un joueur eectue 3tirages avec remise, dans une urne qui contient : 10jetons identiques portant la lettre A
15jetons identiques portant la lettre B
On pose, pour k ∈N∗, Ak="le ke tirage donne un jeton A". On dénit Bk =Ak. Les calculs eectués dans l'exercice devront être justiés.
1. Donner Ω. Quel est son cardinal ?
2. Les tirages sont-ils indépendants ? Justier.
3. Calculer P(A1).
Soit X le numéro du tirage où apparaît pour la première fois un jeton A. Si aucun jeton A n'est apparu, on poseX = 0.
4. Exprimer les évènements {X = 1},{X = 2},{X = 3} et{X = 0} en fonction des Ak etBk. 5. Calculer la probabilité de ces 4 évènements.
Exercice IV.
On considère l'expérience aléatoire suivante :
Un joueur se trouve face à deux urnes A etB, contenant : 5 boules vertes et1 boule rouge pour l'urne A 2 boules vertes et4 boules rouges pour l'urne B
Le joueur lance un dé équilibré à 6faces. S'il obtient un nombre impair, il choisit l'urne A, sinon il choisit l'urne B.
Il eectue ensuite deux tirages sans remise dans l'urne choisie.
On dénit l'évènement A="l'urne A est choisie".
On pose aussi, pour k ∈N∗, Vk ="le ke tirage donne une boule verte". On dénit Rk =Vk. Les formules littérales devront apparaître dans les calculs.
1. Calculer P(A).
2. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que P(V1) = 7 12. 3. On sait que la première boule tirée est verte.
Montrer que la probabilité que la seconde le soit alors aussi est de 22 35. 4. Exprimer à l'aide des évènements dénis dans l'énoncé l'évènement :
E ="le joueur obtient deux boules de couleurs diérentes", puis calculer sa probabilité.
5. Le joueur a obtenu deux boules vertes. Quelle est la probabilité que les tirages se soient eectués dans l'urne B?
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Exercice V.
On considère la fonction f dénie par f(x) = ln(e2x−ex+ 1). 1. a. Résoudre l'inéquation (I) : e2x−ex+ 1>0.
b. En déduire l'ensemble de dénitionDf def. 2. Calculer f(0).
3. f est-elle continue sur Df? Justier.
4. a. Calculer lim
x→−∞f(x).
b. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative Cf def? 5. a. Calculer lim
x→+∞f(x).
b. Montrer que la droite d'équationy= 2xest asymptote oblique àCf au voisinage de+∞. 6. a. Montrer que ∀x∈Df, f0(x) = (2ex−1)ex
e2x−ex+ 1.
b. Etudier le signe de f0, et en déduire le tableau de variations de f. c. Quels sont les bornes et extrema éventuels de f?
d. En quel(s) point(s) la tangente àCf est-elle horizontale ? Justier.
7. Déterminer l'équation de la tangente à Cf en l'origine.
8. On donne ln(2)'0.7 et ln(3)'1.1
a. Calculer la valeur exacte de f(−ln(2)), et vérier qu'une valeur approchée en est −0.3 b. Calculer la valeur exacte de f(ln(2)), ainsi qu'une valeur approchée au dixième.
9. Pour quelle(s) valeur(s) du réel α l'équation f(x) = α admet-elle au moins une solution ? Justier.
10. En plaçant les points, tangentes et asymptotes déterminés précédemment, tracer l'allure de Cf sur l'annexe.
(repère orthonormé, 5 carreaux pour une unité) Question supplémentaire. (si le reste est terminé !) On observe une autoroute la nuit.
On a 99% de chance de voir passer au moins une voiture si on l'observe pendant 4minutes. Quelle est la probabilité d'y voir passer au moins une voiture si on l'observe pendant 1minute ? (On donne
√10'3.2)
3
NOM : Prénom :
Annexe
4
