ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 1 - durée : 4h 28 septembre 2013
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Qu'est-ce qu'une fonction impaire ?
2. Donner la dénition d'une fonction minorée.
3. Quand dit-on qu'une fonction est strictement décroissante sur un intervalle I?
Exercice I.
Soit f etg deux fonctions dénies sur un intervalleI.
On suppose que f est croissante sur I, et que g est décroissante sur I. Montrer que la fonction f −g est croissante surI.
Exercice II.
1. Expliquer précisément le fonctionnement des deux programmes suivants, et notamment celui des commandes en gras :
programme A. programme B.
function y=f(x) ;
y=-5*x∧2+4*x+2 ; endfunction ;
a=input('entrez un réel') ; b=f(a) ;
disp(b) ;
n=input('entrez un entier') ; x=-n :0.01 :n ;
y=exp(x) ; plot(x,y) ;
On considère à présent uniquement le programme A.
2. Que renvoie l'ordinateur si l'utilisateur entre la valeur −3? Jsutier.
3. Existe-t-il une valeur de a pour laquelle l'ordinateur peut renvoyer la valeur0? Préciser.
1/4
Exercice III.
Soit la fonctionf dénie sur R\
1
2
par f(x) = −4x+ 3 2x−1 . Calculer f(2−√
3).
(On simpliera le résultat, et on l'écrira sans racine carrée au dénominateur.)
Exercice IV.
Calculer (et simplier) f◦g, et préciser son ensemble de dénition, si : f(x) = x2−3x+ 1
2x+ 5 et g(x) =−3x+ 2.
Exercice V.
Etudier la parité de la fonction f dénie par f(x) =
1−ex 1 +ex
2
.
Exercice VI.
Résoudre dans Rles équations suivantes : 1. (E) : 3x = ln(2)
2. (F) : | −2x−3|= 4
3. (G) : 2e2x−2−3ex+1+e4 = 0
Exercice VII.
Résoudre dans Rles inéquations suivantes : 1. (I) : ex2−1 ≤3
2. (J) : x x+ 2 + 2
x <−3
(On pourra réduire au même dénominateur, et s'aider d'un tableau de signe.)
Exercice VIII.
Ecrire sans valeur absolue f(x) = 3x−
−2x+ 4
.
2
Problème.
On considère la fonction f, dénie par f(x) = (x2 + 1)√
5−x2, dont on note Cf la courbe représentative.
On donne √
2'1.4, √
3'1.7 et √
5'2.2. 1. Montrer que Df =
−√ 5;√
5 . 2. Calculer f(0), f(1), f(2) etf(√
5). 3. Etudier le signe de la fonction f. 4. a. Etudier la parité de la fonction f.
b. En donner une interprétation graphique.
5. a. Montrer que ∀x∈
−√ 5;√
5
, f0(x) = 3x(√
3−x)(√ 3 +x)
√5−x2 . b. En déduire le tableau de variations de f.
c. Quels sont, s'ils existent, les bornes et extrema de f?
6. Déterminer l'équation de la tangente T1 àCf au point d'abscissex= 1. On admet que la tangente à Cf en x=√
5 est verticale.
7. En s'aidant de l'étude précédente (points, tangentes, etc...), tracer l'allure de Cf sur l'annexe.
Question supplémentaire.
Existe-t-il des fonctions périodiques, impaires et non bornées ? Argumenter.
3
NOM : Prénom :
Annexe
4
