ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 4 - durée : 4h 4 février 2015
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Enoncer la formule des probabilités totales dans le cas général.
2. Montrer que si A etB sont deux évènements indépendants, alors il en est de même pour A etB.
3. Donner la dénition d'une application surjective.
4. Qu'est-ce qu'une matrice diagonale ?
Exercice I.
Une urne contient au départ 4boules bleues et 1 boule rouge.
On eectue des tirages successifs dans l'urne de la façon suivante :
si une boule bleue est tirée, on la remet dans l'urne, et on ajoute aussi une boule rouge.
si une boule rouge est tirée, on la remet dans l'urne, et on ajoute aussi une boule bleue.
Pour n∈N∗, on note Bn= {La ne boule tirée est bleue}, et Rn=Bn. 1. Calculer P(B1), P(B2), et montrer queP(B3) = 9
14.
2. Sachant que la deuxième boule tirée est bleue, quelle est la probabilité que la premiere boule tirée ait été rouge ?
3. Sachant que la deuxième boule tirée est bleue, quelle est la probabilité que la troisième boule tirée soit bleue ?
4. On admet que lim
n→+∞P(Bn) = 1
2. Interpréter ce résultat.
Exercice II.
Une urne contient des boules numérotées de 2 à6. On y eectue deux tirages sans remise.
1. Déterminer Ω.
2. A quoi correspond (concrètement) l'application X : Ω −→ N ω= (a;b) 7−→ ab ? 3. a. Déterminer l'ensemble image X(Ω).
b. Expliquer pourquoi l'applicationX n'est pas surjective.
4. a. Déterminer la composition de X−1({4}), de X−1({8}) et de X−1({12}). b. L'application X est-elle injective ? Justier.
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Exercice III.
On considère la fonction f dénie par f(x) = x+ ln(x). 1. Calculer f(1).
2. Montrer que f est dénie sur R∗+.
3. Justier brièvement la continuité de f surR∗+.
4. Montrer que f réalise une bijection de R∗+ sur un intervallef(R∗+) à expliciter.
5. a. Donner les ensembles de dénition et image de la réciproque f−1 de f, sans la déterminer explicitement.
b. Sur un même graphe, tracer l'allure de Cf et de Cf−1, en expliquant la méthode utilisée pour tracerCf−1.
6. Soit n∈N∗.
a. Justier que l'équation f(x) =n admet exactement une solution sur R∗+, que l'on noteraxn.
b. Etudier la monotonie de la suite(xn)n∈N∗.
c. Calculer f(n−ln(n)), et en déduire que ∀n∈N∗, xn≥n−ln(n). d. Déterminer alors lim
n→+∞xn.
Exercice IV.
On considère les matrices : M =
0 1 2 2 2 2 2 1 0
, P =
1 2 1
−2 0 2 1 −2 1
, Q= 1 4
1 −1 1 1 0 −1
1 1 1
et D=
0 0 0 0 −2 0 0 0 4
. 1. a. Vérier que Q=P−1.
b. Vérier que M =P DP−1.
c. Montrer que ∀n ∈N∗, Mn =P DnP−1.
d. Donner Dn sans calcul, puis expliciter Mn, pour n ∈N.
(indication : la 1ere colonne de Mn est 1 4
4n+ 2(−2)n 2×4n 4n−2(−2)n
.) 2. On considère trois suites a, b etc telles que
a0 = 1 b0 = 0 c0 = 0
et ∀n∈N,
an+1 =bn+ 2cn
bn+1 = 2an+ 2bn+ 2cn cn+1 = 2an+bn
On introduit la matrice Xn=
an
bn cn
.
a. Vérier que ∀n∈N, Xn+1 =M Xn puis que ∀n ∈N, Xn=MnX0.
b. En déduire l'expression des suites (an)n∈N, (bn)n∈N et(cn)n∈N en fonction de n. 3. Créer un programme Scilab qui demande un entier n ∈ N à l'utilisateur, et calcule et
ache tous les termes des suites (an)n∈N, (bn)n∈N et (cn)n∈N jusqu'à l'indice n. 2
