[ Baccalauréat ES (B) Pondichéry avril 1994 \
EXERCICE1 4 points
1. SoitPle polynôme défini surRpar
P(x)=x3−x2−14x+24.
a. CalculerP(2). En déduire une factorisation deP(x).
b. Résoudre dansRl’équationP(x)=0.
2. En déduire les solutions dans des équations suivantes : a. 2lnx+ln(x−1)=ln(14x−24)
b. e2x−ex+24e−x−14=0.
EXERCICE2 4 points
Dans cet exercice tous les résultats seront donnés sous forme de fractions.
Une urne contient trente boules numérotées de 1 à 30 indiscernables au toucher.
1. On tire au hasard une boule de l’urne. Calculer :
a. la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3 et de 5 ; b. la probabilité que le numéro de la boule tirée soit multiple de 3 ou de 5.
2. On tire au hasard 3 boules successivement et avec remise.
Calculer la probabilité d’obtenir au moins une fois un numéro multiple de 3 et de 5.
PROBLÈME 12 points
Soit la fonction numérique f définie sur ]0+ ∞[ par f(x)=(lnx)3−3lnx.
On note (C) la courbe représentative def dans le plan rapporté à un repère ortho- normal³
O,→− ı ,−→
´(unité graphique : 2 cm).
Partie I
1. Après avoir factoriséf(x), déterminer les limites def aux bornes de son en- semble de définition.
2. Prouver que pour toutxréel strictement positif on a f′(x)=3(lnx−1)(lnx+1) oùf′désigne la dérivée de la fonctionf.
Étudier le signe def′(x) sur ]0+ ∞[.
3. Dresser le tableau de variations de la fonctionf.
4. Résoudre l’équation f(x)=0 sur ]0+ ∞[. Que représentent pour (C) les solu- tions de cette équation ?
5. Construire (C).
Baccalauréat ES (B) A. P. M. E. P.
Partie II
SoientI,J, etKles intégrales définies par : I=
Z1
1/lnelnxdx, J= Z1
1/lne(lnx)2dx, K= Z1
1/lne(lnx)3dx.
1. Soit la fonctionGdéfinie sur ]0+ ∞[ par : G(x)=xlnx−x.
Montrer queGest une primitive de la fonctiongdéfinie sur ]0+∞[ parg(x)= lnx.
En déduire la valeur deI.
2. Soit la fonctionHdéfinie sur ]0+ ∞[ par :
H(x)=x(lnx)2−2(xlnx−x).
Montrer queH est une primitive de la fonctionh définie sur ]0 + ∞[ par h(x)=(lnx)2. En déduire la valeur deJ.
3. a. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties queK=1
e−3Jet en dé- duire queK=6
e−6.
b. En utilisantIetKcalculer Z1
1/lnef(x) dx.
4. En déduire l’aire, en cm2, de l’ensemble des pointsM(x;y) du plan tels que : 1
e6x61 et 06y6f(x).
On donnera la valeur exacte du résultat puis la valeur approchée à 10−2près par défaut.
Pondichéry 2 avril 1994
