 S’il est chez A, il va chez B ou C avec une probabilité de 1/3 pour B,

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Une marche aléatoire

Monsieur l’indécis a trois amis A, B et C. A chaque étape de sa marche aléatoire :

 S’il est chez A, il va chez B ou C avec une probabilité de 1/3 pour B,

 S’il est chez B, il va chez A ou C avec une probabilité de 3/4 pour A,

 S’il est chez C, il va chez A ou B de façon équiprobable.

Une problématique et un graphe probabiliste

Il part de chez A, B ou C et arrête sa promenade au bout de 3 étapes. Chez qui a-t-il alors le plus de chance de se trouver ?

Recopier et compléter le graphe ci-contre par des probabilités le long des flèches.

A l’aide d’un arbre pondéré

On suppose que l’indécis part de A. Réaliser un arbre des probabilités pour une marche en trois étapes. Calculer les probabilités que l’indécis arrive en A, en B, en C au bout des trois étapes. Faites le même travail en supposant que l’indécis parte de B puis en supposant qu’il parte de C.

S’il part de A

P(A au bout de trois étapes) = 1/3*1/4*1/2 + 2/3*1/2*3/4 = 7/24 = 0.29

P(B au bout de trois étapes) = 1/3*3/4*1/3 + 1/3*1/4*1/2 + 2/3*1/2*1/3 = 17/72 = 0.24

P(C au bout de trois étapes) = 1/3*3/4*2/3 + 2/3*1/2*2/3 + 2/3*1/2*1/4 = 17/36 = 0.47

S’il part de A, il a plus de chance de se retrouver chez C

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S’il part de B

P(A au bout de trois étapes) = 3/4*1/3*3/4 + 3/4*2/3*1/2 + 1/4*1/2*3/4 = 0.53 P(B au bout de trois étapes) = 3/4*2/3*1/2 + 1/4*1/2*1/3 = 0.29

P(C au bout de trois étapes) = 3/4*1/3*1/4 + 1/4*1/2*2/3 + 1/4*1/2*1/4 = 0.18 S’il part de B, il a plus de chances de se retrouver chez A.

S’il part de C

P(A au bout de trois étapes) = 1/2*1/3*3/4 + 1/2*2/3*1/2 + 1/2*1/4*1/2 = 0.35 P(B au bout de trois étapes) = 1/2*2/3*1/2 + 1/2*3/4*1/3 + 1/2*1/4*1/2= 0.35 P(C au bout de trois étapes) = 1/2*1/3*1/4 + 1/2*3/4*2/3 = 0.29

S’il part de de C, il a plus de chances de se retrouver chez A ou B.

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A l’aide d’une matrice

On introduit une matrice T, à 3 lignes et 3 colonnes, appelée « matrice de transition », formée par les probabilités de passage en une étape de A, B ou C à A, B ou C comme indiqué ci-dessous :

1 2

0 3 3

3 1

4 0 4

1 1 2 2 0 T

 

 

 

 

  

 

 

 

 

Quelle remarque peut-on faire sur la somme des coefficients d’une ligne de la matrice de transition ? La somme des coefficients d’une même ligne est égale à 1.

Calculer T

.

Quelles probabilités reconnaît-on dans les coefficients de la première ligne de cette matrice ? On reconnait les probabilités de se retrouver chez A, chez, B, chez C au bout de trois étapes en partant de A.

A quoi correspondent les coefficients de la seconde ligne, de la troisième ligne ? Elles correspondent aux mêmes probabilités mais en partant de B pour la deuxième ligne et en partant de C pour la troisième ligne.

La puissance 3 de cette « matrice de transition nous aide-t-elle à répondre « rapidement » à la

problématique initiale ? De manière évidente oui puisqu’on accède directement aux résultats.