• S’il est chez A, il va chez B avec une probabilité de 1

(1)

TS-Spé Complément Matrices 1 : Matrice de transition _2012-2013

Marche Aléatoire : Représentations

Monsieur Indécis a trois ami(e)s A, B et C. A chaque étape de sa marche aléatoire :

• S’il est chez A, il va chez B avec une probabilité de 1

3 ou chez C ;

• S’il est chez B, il va chez A avec une probabilité de 3

4 ou chez C ;

• S’il est chez C, il va chez B ou chez A de façon équiprobable.

1. Graphe probabiliste 1 3

A

B

C

(a) Que représente la probabilité 1

3 inscrite le long de la flêche allant de A vers B ?

(b) Compléter les probabilités manquantes.

2. Arbre de probabilités

On suppose que l’indécis part de A.

(a) Réaliser un arbre de probabilités pour une marche à trois étapes.

(b) Calculer les probabilités que l’indécis soit en A, en B, en C en deux étapes.

(c) Même question que précédemment en trois étapes.

(d) Reprendre le travail précédent en supposant successivement que l’indécis part de B, puis de C. Émettre des remarques.

3. A l’aide d’une matrice.

On introduit une matrice T , à 3 lignes et 3 colonnes, appelée matrice de transition, dont les coefficients sont les probabilités de passage en une étape de A, B ou C à A, B ou C comme indiqué ci-contre.

(a) i. Écrire la matrice T avec tous ses coefficients.

ii. Que remarque-t-on sur la somme des coefficients d’une ligne ? Jus- tifier.

(b) i. Calculer T

²

= T × T à la main.

ii. Quelles probabilités reconnaît-on dans les coefficients de la 1ère ligne de cette matrice ?

Par analogie, quelle probabilité représente le coefficient situé en 3ème ligne et 2ème colonne ?

iii. Inversement, quelles sont les probabilités d’aller, en deux étapes : de B à A ? de C à C ?

(c) i. Calculer T

³

.

ii. Quelles probabilités reconnaît-on dans les coefficients de la 1ère ligne de cette matrice ?

iii. Conjecturer les probabilités d’aller en trois étapes : de A à B ; de C à B ; de B à B.

iv. A la fin d’une marche aléatoire, chez quel ami M.Indécis aurait-il plus de chance de terminer sa marche s’il est parti de A ? Et s’il est parti de B ? Et de C ?

• S’il est chez A, il va chez B avec une probabilité de 1

TS-Spé Complément Matrices 1 : Matrice de transition 2012-2013

Marche Aléatoire : Représentations

Monsieur Indécis a trois ami(e)s A, B et C. A chaque étape de sa marche aléatoire :

• S’il est chez A, il va chez B avec une probabilité de 1

3 ou chez C ;

• S’il est chez B, il va chez A avec une probabilité de 3

4 ou chez C ;

• S’il est chez C, il va chez B ou chez A de façon équiprobable.

1. Graphe probabiliste 1 3

A

B

C

(a) Que représente la probabilité 1

3 inscrite le long de la flêche allant de A vers B ?

(b) Compléter les probabilités manquantes.

2. Arbre de probabilités

On suppose que l’indécis part de A.

(a) Réaliser un arbre de probabilités pour une marche à trois étapes.

(b) Calculer les probabilités que l’indécis soit en A, en B, en C en deux étapes.

(c) Même question que précédemment en trois étapes.

(d) Reprendre le travail précédent en supposant successivement que l’indécis part de B, puis de C. Émettre des remarques.

3. A l’aide d’une matrice.

On introduit une matrice T , à 3 lignes et 3 colonnes, appelée matrice de transition, dont les coefficients sont les probabilités de passage en une étape de A, B ou C à A, B ou C comme indiqué ci-contre.

(a) i. Écrire la matrice T avec tous ses coefficients.

ii. Que remarque-t-on sur la somme des coefficients d’une ligne ? Jus- tifier.

(b) i. Calculer T

= T × T à la main.

ii. Quelles probabilités reconnaît-on dans les coefficients de la 1ère ligne de cette matrice ?

Par analogie, quelle probabilité représente le coefficient situé en 3ème ligne et 2ème colonne ?

iii. Inversement, quelles sont les probabilités d’aller, en deux étapes : de B à A ? de C à C ?

(c) i. Calculer T

.

ii. Quelles probabilités reconnaît-on dans les coefficients de la 1ère ligne de cette matrice ?

iii. Conjecturer les probabilités d’aller en trois étapes : de A à B ; de C à B ; de B à B.

iv. A la fin d’une marche aléatoire, chez quel ami M.Indécis aurait-il plus de chance de terminer sa marche s’il est parti de A ? Et s’il est parti de B ? Et de C ?

T =





p

(A) p

(B) p

(C) p

(A) p

(B) p

(C) p

(A) p

(B) p

(C)





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