PROBABILITES
I- Probabilités élémentaires
a) Vocabulaire des probabilités
• L’intersection de deux événements A et B est l’ensemble formé des éventualités communes aux deux événements . Il est notée A ∩ B
• La réunion de deux événements A et B est l’ensemble formé de toutes les éventualités des deux événements. Il est notée notée A ∪ B
• Lorsque deux événements ont une intersection vide (A ∩ B =∅ ) , on dit qu’ils sont incompatibles ou disjoints
• On appelle événement contraire d’un événement A et on note A l’ensemble de toutes les éventualités qui ne sont pas dans A. C’est la partie complémentaire de A dans Ω c’est à dire A ∪ A = Ω
b) Loi de probabilité sur un univers
Définition : Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire composé des événements élémentaires {w1, w2 , w3 ….., wn }.
Définir une loi de probabilité P sur Ω, c’est associer, à chaque événement élémentaire wi,
Propriétés :
1) La probabilité de la réunion de deux événements est donnée par : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 2) Si deux événements sont incompatibles, alors la probabilité de leur réunion est égale à la somme de leurs
probabilités : Si A ∩ B =∅ alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 3) La probabilité de l’événement contraire A de A est PA = 1 – P(A)
II- Probabilités conditionnelles
1) Définition
Soit Ω l’ensemble sur lequel est définie une probabilité P (c’est l’univers) Soit A et B deux événements de Ω.
Définition :
Si P(B) ≠ 0 , la probabilité que l'événement A se réalise sachant que l 'événement B est réalisé se note PB(A) et est définie par le quotient P(A∩B)
P(B) On a donc PB(A) = P(A∩B)
P(B)
Cette probabilité est dite conditionnelle. On définit de même : PA(B) = P(A∩B) P(A) Propriété : Soient A et B deux événements de probabilité non nulle, alors :
P(A ∩ B) = ou P( A ∩ B ) =
2) Propriétés
•
Pour tout événement A : 0 ≤ P
B(A)≤ 1
Démonstration•
P
B(A)+PB(A
)=1
Démonstration3) Arbre pondéré et calculs de probabilité
Un arbre pondéré ou arbre de probabilité est un schéma mettant en jeu des probabilités conditionnelles permettant de calculer rapidement des probabilités
A noter quelques propriétés :
• La somme des probabilités issues d'un même nœud est égal à 1
• Si on suit une branche de l'arbre on est en présence de l'intersection des événements correspondants. Le calcul de la probabilité de l'intersection est alors le produit des probabilités indiquées le long des branches
P ( A ∩ B ) = P(A)×PA(B) Exemple :
Dans un lycée, les élèves de Terminales faisant spécialité mathématiques, se répartissent ainsi :
• 65 % de filles dont 24 % souhaitant faire PACES
• 35 % de garçons dont 17 % souhaitent faire PACES
On tire au sort un élève et on considère les événements F : « l'élève est une Fille » et A : « l'élève souhaite faire PACES »
a) Illustrer la situation à l'aide d'un arbre
b) Calculer la probabilité que l'élève tiré au sort soit une fille souhaitant faire PACES
III- Formule des probabilités totales Définition
On considère n événements A1 , A2 , … , An vérifiant :
• pour tout i ≠ j , Ai ∩ Aj = ∅ (événements disjoints)
• Ω = A1 ∪ A2 ∪ … An
On dit que la famille ( A1 , A2 , … , An ) forment une partition de l'univers
On peut en résumer dire qu'une partition de l'univers est une réunion d'événements disjoints deux à deux formant l'univers
Dans l'arbre précédent , les événements F et F forment une partition de l'univers Propriété : formule des probabilités totales
Soit ( A1 , A2 , … , An ) une famille d'événements formant une partition de l'univers. La probabilité d'un événement B quelconque de l'univers est alors donnée par : `
Exemple : Dans l'exemple précédent, si on souhaite connaître la probabilité de A « l'élève souhaite faire PACES » on constate sur l'arbre que deux chemins mènent à A . C'est dans un tel cas que l'on pense à la formule des probabilités totales car F et F formant une partition de l'univers d'après la formule des probabilités totales, on a : P(A) = P(F ∩ A ) + P( F ∩ A )
IV - Indépendance en probabilité
a) Evénements indépendantsDéfinition : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A)×P(B) Conséquence :
Les deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si PB(A)=P(A) et PA(B)=P(B)
Autrement dit : deux événements A et B qui se succèdent sont indépendants si la réalisation de A n’a pas d’influence sur celle de B
b) Indépendance et événements contraires
Propriété : Si A et B sont deux événements indépendants alors A et B le sont aussi
Démonstration
Exemple :
On donne la répartition des licenciés dans un club.
On tire au sort une personne de ce club pour une tombola et
on considère les événements A : « la personne est adulte » et
B : « la personne pratique le basket ball »
Adulte Enfant Total
Handball 73 174 247
Basketball 45 135 180
Gymnastique 14 87 101
Total 132 396 528
Compléter : P(A) = PB(A) On peut en conclure que :
V- Succession de deux épreuves indépendantes a) Définition
Définition
En réalisant successivement deux expériences aléatoires telles que les événements associés à la première soient indépendants des événements associés à la seconde, on dit que l'on réalise une succession de deux épreuves indépendantes.
Remarque : On est dans une telle situation dans le cas d'une succession de deux tirages avec remise. Les deux tirages sont alors dits indépendants
b) Représentation
Exemple : On considère deux urnes dont le contenu est le suivant :
• Urne 1 : 1 boule Verte , 1 boule Rouge , 2 boules Bleues
• Urne 2 : 3 boules Oranges et 2 boules Jaunes
On tire une boule dans l'urne 1 puis une boule dans l'urne 2. On peut considérer ces deux épreuves comme indépendantes et les représenter par un arbre ou un tableau :
avec un arbre
Sur cet arbre, les probabilités sur les branches du tirage 2 sont les mêmes . Il ne s'agit plus de probabilités conditionnelles.
Avec un tableau
On place dans les lignes les résultats aux deux épreuves et les cases intérieures du tableau contiennent les probabilités associées par produit
Epreuve 1
Epreuve 2 V R B
O 0,25×0,6=0,15 0,25×0,6=0,15 0,5×0,6=0,3
J 0,25×0,4=0,1 0,25×0,4=0,1 0,5×0,4=0,2
