1 Convergence en probabilité

CONVERGENCES ET APPROXIMATIONS

Table des matières

1 Convergence en probabilité 2

1.1 Inégalité de Markov. . . 2

1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . 2

1.3 Convergence en probabilité . . . 2

1.4 Loi faible des grands nombres . . . 2

1.5 Composition par une fonction continue. . . 2

2 Convergence en loi 2 2.1 Définition . . . 2

2.2 Cas particuliers . . . 3

2.3 Lien entre les deux notions de convergence . . . 3

2.4 Convergence de loi binomiale vers la loi de Poisson . . . 3

2.5 Théorème de Slutsky. . . 3

2.6 Composition par une fonction continue. . . 3

2.7 Théorème limite central. . . 4

2.8 Approximations déduites du théorème de la limite centrée . . . 4

2.8.1 Approximation deB(n,p)parN(np,npq) . . . 4

2.8.2 Approximation deP(β)parN(β,β) . . . 4

2.8.3 Simulation deN(0, 1) . . . 5

1 Convergence en probabilité

1.1 Inégalité de Markov.

Théorème

SiX est une variable aléatoire positive admettant une espérance, alors pour tout réelastrictement positif : P([X ¾a])¶

E(X) a . En appliquant cette inégalité àY=|X|^r,r∈N^∗, on obtient : Corollaire

SiXest une variable aléatoire admettant un moment d’ordrer(r∈N^∗), alors pour tout réelastrictement positif : P([|X|¾a]) =P([|X|^r¾a^r])¶

E(|X|^r) a^r .

1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Théorème

SiX est une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2, alors :

∀" >0, P([|X−E(X)|¾"])¶ V(X)

"² .

1.3 Convergence en probabilité

Définition

La suite(X_n)n∈N^∗ converge en probabilité versX si :

∀" >0, lim

n→+∞P([|X_n−X|¾"]) =0.

NotationX_n−^P→X.

RemarqueOn peut remplacer l’inégalité large par une inégalité stricte. Ainsi a suite(X_n)n∈N^∗converge en pro- babilité versX si :

∀" >0, lim

n→+∞P([|X_n−X|> "]) =0.

1.4 Loi faible des grands nombres

Théorème

Soit(X_n)n∈N^∗une suite de variables aléatoires indépendantes ayant même espérancemet même variance et soitX_n= X₁+. . .+X_n

n . Alors :

∀" >0, lim

n→+∞P([|X_n−m|¾"]) =0.

C’est-à-dire la suite(X_n)n¾1converge en probabilité versm(variable aléatoire certaine égale àm).

1.5 Composition par une fonction continue.

Théorème SiX_n−→^P X et si f est une fonction continue surRà valeurs réelles, alors f(X_n)−→^P f(X).

2 Convergence en loi

2.1 Définition

La suite(X_n)n∈N^∗ converge en loi versX si et seulement si en tout point de continuitéxdeF_X :

n→+∞lim F_X

n(x) =F_X(x).

NotationX_n−^L→X Remarque

Dans le cas oùX est une variable aléatoire réelle à densité, on a :X_n−−−→_n→+∞^L X si et seulement si :

∀x∈R, lim

n→+∞F_X

n(x) =F_X(x)

2.2 Cas particuliers

Propriété

Soit(X_n)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé.

X_n−−−→_n→+∞^L c∈Rsignifie que

P(X_n¶t)_n−→_→+∞

0 si t<c 1 si t>c

Théorème : Caractérisation de la convergence en loi dans un cas particulier

On suppose que les variables aléatoiresX_nsont à valeurs dansZet qu’il en est de même de la variable aléatoireX. Alors :

X_n−−−→^L

n→+∞ X ⇐⇒ ∀k∈^Z, lim

n→+∞P X_n=k

=P(X=k)

2.3 Lien entre les deux notions de convergence

Théorème

SiX_n−−−→_n→+∞^P X alorsX_n−−−→_n→+∞^L X. La réciproque est fausse.

Contre-exemple

SoitX ,→ N(0, 1). On en déduit que−X ,→ N(0, 1)( distribution symétrique).

On considère la suite(X_n)n∈Nde variables aléatoires réelles définies par :∀n∈N, X_n=−X. On a :X_n−−−→_n→+∞^L X

Par contre, la suite(X_n)n∈Nne converge pas en probabilité versX. En effet, si on considèreε >0 on a : P |X_n−X|¾"

=P(|2X|¾") =P(|X|¾"/2) =constante non nulle ne tendant pas vers 0 lorsquen→+∞.

2.4 Convergence de loi binomiale vers la loi de Poisson

Théorème

Soitλ >0. Pour tout entier natureln> λ, on considère une variable aléatoireX_nsuivant la loiB

n,λ n

. SoitX une variable aléatoire suivant la loiP(λ). Alors :

X_n−−−→_n→+∞^L X

2.5 Théorème de Slutsky.

Théorème

Si (X_n)n∈N^∗ converge en loi vers X et si (Y_n)n∈N^∗ converge en probabilité vers une constante c, alors (X_n+Y_n)n∈N^∗converge en loi versX+cet(X_nY_n)n∈N^∗converge en loi verscX.

Remarque

Si(X_n)n∈N^∗converge en loi versX et si la suite réelle(c_n)n∈N^∗converge vers le réelc, alors(c_nX_n)n∈N^∗converge en loi verscX.

2.6 Composition par une fonction continue.

Théorème

Si (X_n)n∈N^∗ converge en loi vers X et si f est une fonction continue sur R à valeurs réelles, alors (f(X_n))n∈N^∗converge en loi versf(X).

2.7 Théorème limite central.

Théorème

Si(X_n)n∈N^∗est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance met une varianceσ² non nulle, si on note : X_n=X₁+. . .+X_n

n , alors la suite de variables aléatoires centrées réduitesX^∗_n=p

n

‚X_n−m σ

Œ

converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

D’où, on a pour tout(a,b)tel que−∞¶a¶b¶+∞:

n→+∞lim P([a¶X^∗_n¶b]) = Z b

a

p1 2πexp

‚

−t² 2

Πdt.

RemarqueOn garde les notations du théorème précédent. On pose∀n∈N^∗,S_n=X₁+· · ·+X_n. AlorsE(S_n) =nm,V(S_n) =nσ²,σ(S_n) =p

nσet par suiteS_n^∗=S_n−mn pnσ =

S_n n −m

σ

pn=X^∗_n.

2.8 Approximations déduites du théorème de la limite centrée

Méthode générale

Soit(X_n)n¾1une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes une même loi dont on ne connaît que l’espéranceµet la varianceσ²6=0.

SoitS_n=X₁+· · ·+X_npour toutn¾1. SoitN_n,→ N(nµ,nσ²). Alors, pour tout intervalleI deRet tout entiern« assez grand », on a :

P S_n∈I

≈P N_n∈I

2.8.1 Approximation deB(n,p)parN(np,npq)

Soit(X_n)n¾1une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loiB(p). On poseq=1−p.

SoitS_n=X₁+· · ·+X_npour toutn¾1.S_n,→ B(n,p).E(S_n) =npetV(S_n) =npq.

Pourngrand (np¾10 etn(1−p)¾10),S_nsuit approximativement la loiN(np,npq). Méthode pratique

SoitX ,→ B(n,p). On suppose quenest grand (np¾10 etn(1−p)¾10). Soit Z,→ N(np,npq). Z^∗= ^Z−npp_npq ,→ N(0, 1). On noteΦla fonction de répartition deZ^∗.

Pour tout(a,b)∈R²vérifianta<b, on a : P(a¶X¶b)≈P(a¶Z¶b) =P

‚a−np pnpq ¶

Z−np pnpq ¶

b−np pnpq

Œ

= Φ

‚b−np pnpq

Œ

−Φ

‚a−np pnpq

Π.

2.8.2 Approximation deP(β)parN(β,β)

Soit(X_n)n¾1une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loiP(λ) (λ >0). SoitS_n=X₁+· · ·+X_npour toutn¾1.S_n,→ P(nλ).E(S_n) =nλetV(S_n) =nλ.

Pourngrand,S_nsuit approximativement la loiN(nλ,nλ).

Lorsqueβest grand(β¾10), on peut approcher la loiP(β)parN(β,β). Méthode pratique

SoitX ,→ P(β). On suppose que(β¾10). SoitZ,→ N(β,β). Z^∗= ^Zp^−β

β ,→ N(0, 1). On noteΦla fonction de répartition deZ^∗. Pour tout(a,b)∈R²vérifianta<b, on a :

P(a¶X¶b)≈P(a¶Z¶b) =P



 a−β

pβ ¶ Z−β

pβ ¶ b−β

pβ



= Φ



 b−β

pβ



−Φ



 a−β

pβ



.

2.8.3 Simulation deN(0, 1)

Soit(X_i)i¾1une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant toutes la loiU[0, 1]). SoitS_n=X₁+· · ·+X_npour toutn¾1.

E(S_n) =₂ⁿetV(S_n) = ₁₂ⁿ. Pourngrand S_n−n/2

pn/12

suit approximativement la loiN(0, 1). On prendn=12. AinsiS₁₂−6 suit approximativement la loiN(0, 1).